考研（大学）数学极限与连续（4）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:19:59

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极限与连续（4）

基础

设

a_1=4,a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}

，证明：

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n

存在，并求极限。

解：先证明

a_n\ge 2,a_1=4,a_2=\sqrt{2+a_1}=2.44949\ge 2

，假设

a_k\ge 2,a_{k+1}=\sqrt{1+a_k}=\sqrt{2+2}=2\ge 2

，由数学归纳法得，对任意正整数

，均有

a_n\ge 2

；下面来证单调性，

a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\dfrac{2+a_n-a_{n}^{2}}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\dfrac{\left( 1+a_n \right) \left( 2-a_n \right)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}

，由之前得

a_n\ge 2

，所以

a_{n+1}-a_n\le 0

，即

a_n

单调递减。由单调有界准则，故极限存在。设

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=A

，则

A=\sqrt{A+2}

，得

A=2

。即

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=2

。

解题思路：一般给出递推数列的极限问题一般就是用单调有界准则去做去做，证明有界可采用放缩法，此题使用数学归纳法比较好，数学归纳先假设，先假设

项成立，在证明

k+1

项也成立。其次是单调性的证明，可用函数证明，这题采用作差法进行证明，再根据已知条件进行判断，得出单调性。极限存在。再利用等式算出极限。

设

a_1>0,a_{n+1}=1-e^{-a_n}\left( n=1,2,3... \right)

，（1）证明：

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n

存在，并求极限；（2）求

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_{n}^{2}}

解：（1）先证明有界性，

a_1>0,a_2=1-e^{-a_1} > b0

，假设

a_k > 0,a_{k+1}=1-e^{-a_k} > 0

，由数学归纳法，对任意

，均有

a_n > 0

；单调性：

a_{n+1}=1-e^{-a_n}=e^0-e^{-a_n}=e^{\xi}a_n\left( -a_n < \xi < 0 \right)

，

e^{\xi} < 0

所以a_{n+1}<a_n，即

{ a_n }

单调递减，

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n

存在。设

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=A,A=1-e^{-A}

，解得

A=0

，

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=0

。

（2）

\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n}^{2}}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1-e^{-a_n}-a_n}{a_{n}^{2}}\left( a_n=t,t\rightarrow 0 \right)=\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{1-e^{-t}-t}{t^2}=\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{e^{-t}-1}{2t}=-\frac{1}{2}

，故原式

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_{n}^{2}}=-\dfrac{1}{2}

解题思路：第一问跟上面那题有点相似，首先有界，仍然用的是数学归纳法，而单调性是用拉格朗日中值定理来证明（这里要注意小技巧）。第二问用第一问的条件，将

a_n

的问题转化成为

趋近0的求极限问题，采用洛必达法则（或者采用泰勒公式），算出极限。

提高

设函数

f\left( x \right)

可导且

0\le f^{'}\left( x \right) \le \dfrac{k}{1+x^2}\left( k > 0 \right)

，对任意的

x_n

，作

x_{n+1}=f\left( x_n \right) \left( n=0,1,2... \right)

，证明：

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_n

存在且满足方程

f\left( x \right) =x

解：

x_{n+1}-x_n=f\left( x_n \right) -f\left( x_{n-1} \right) =f^{'}\left( \xi \right) \left( x_n-x_{n-1} \right) \left( x_n-x_{n-1} \right)

，而

x_{n+1}-x_n

与

x_n-x_{n-1}

同号，故

{ x_n }

单调。

\begin{align*}\displaystyle |x_n|&=|f\left( x_{n-1} \right) |=|f\left( x_1 \right) +\int_{x_1}^{x_{n-1}}{f^{'}\left( x \right) dx|}\\&\le |f\left( x_1 \right) |+|\int_{x_1}^{x_{n-1}}{f^{'}\left( x \right) dx|\le}|f\left( x_1 \right) |+\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{k}{1+x^2}}dx=|f\left( x_1 \right) |+k\pi\end{align*}

即}

\{ x_n \}

有界，

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x

存在。根据连续可导，知道

f\left( x \right)

连续，由等式

x_{n+1}=f\left( x_n \right)

，对两边取

n\rightarrow \infty

，即

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_n=f\left( \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_n \right)

，即得证。

解题思路：首先想到单调性，要用到作差，然后出现类似于拉格朗日中值定理，同号（单调性证明）。后面证明有界，先去构造

x_n

与

f\left( x_{n-1} \right)

的关系，进行放缩，用到

f\left( x \right)

的式子进行积分，得到有界。后面直接连续性得出结果即可。

作者：小熊

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原始发表：2021-11-26，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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