大学生数学竞赛非数专题一（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:35:55

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专题一函数与极限 (1)

1.2 竞赛题精彩讲解

1.2.1 函数的表达式

例1.1 （江苏省2004年数学竞赛）已知函数

f(x)

是周期为

\pi

的奇函数，且当

x\in(0,\dfrac{\pi}{2})

时

f(x)=\sin x-\cos x+2

，则当

x\in(\dfrac{\pi}{2},\pi)

时，求

f(x)

的表达式。

解析：由于

f(x)

是奇函数，当

x\in(\dfrac{\pi}{2},0)

时

\displaystyle \begin{align*}f(x)=-f(-x)=-(\sin(-x)-\cos(-x)+2) =\sin x+\cos x+2\end{align*}

f(x)

是周期为

\pi

的函数，所以当

x\in(\dfrac{\pi}{2},\pi)

时，

\begin{align*}f(x)=f(\pi-x)=\sin(x-\pi)+\cos(x-\pi)-2 =\sin x-\cos x-2\end{align*}

例1.2 （江苏省1991年竞赛题）求函数

y=\sin x|\sin x|

其中

|x|\leq\dfrac{\pi}{2})

的反函数

解析当

0\leq x\leq\frac{\pi}{2}

,即

\sin x=\sqrt{y}(0\leq x \leq1)

,所以

x=\arcsin\sqrt{y}(0\leq x \leq1)

；同理当

-\dfrac{\pi}{2}\leq x \leq 0

，

y=-\sin^2x(-1\leq x \leq1)

，所以

\sin^2x=-y

，

\sin x=-\sqrt{-y}

，

x=\arcsin(-(\sqrt{-y}))

求得反函数当

0\leq x\leq 1

时

y=\arcsin\sqrt{x}

；当

-1\leq x \leq 0

，

y=-\arcsin\sqrt{-x}

这个习题来源陈仲老师编的大学生数学竞赛习题，讲得很详细，个人感觉很不错！习题的方法都很基础，但是练的都是基本功，希望大家好好学学！

作者：小熊

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原始发表：2021-11-23，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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