大学生数学竞赛非数专题一（4）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:39:02

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专题一函数与极限 (4)

1.2 竞赛习题精彩讲解

1.2.4 利用两个重要极限求极限

例1.15 （莫斯科财政金融学院1977年竞赛题）求

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdot \cos\frac{x}{2^n})

解：可以令要求的式子为

\displaystyle x_{n}=\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\dotsb \cos\frac{x}{2^n}

，根据二倍角公式,可得

\displaystyle\sin\dfrac{x}{2^n}x_{n}=\dfrac{1}{2^n}\sin x

，所以可以得

\displaystyle \begin{align*}\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_{n}=\underset{n \rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{\dfrac{x}{2^n}}{\sin\dfrac{x}{2^n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\sin x}{x}=1\end{align*}

例1.16 （浙江省2010数学竞赛题）

求极限

\displaystyle \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}[\sqrt{n}(\sqrt{n+1})-\sqrt{n})+\dfrac{1}{2}]^{\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}

解：首先底数进行处理

\displaystyle\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}+\frac{1}{2}=1+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}

，则根据重要极限，知道

\displaystyle\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1-\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}}{2(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1)}=\dfrac{0}{4}=0

，应用

的重要极限，

原式

\displaystyle=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}[1+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}]^{\dfrac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}\cdot(-\dfrac{1}{2})}=e^{-\dfrac{1}{2}}

例1.17 （南京大学1996年竞赛题）设函数

f(x)

在

x=a

可导，且有

f(a)\neq 0

，则

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{f(a+\frac{1}{n})}{f(a)}\right]^{n}

解：同理想到构造

的重要极限，令

x_{n}=\dfrac{f(a+\dfrac{1}{n})-f(a)}{f(a)}

，显然

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_{n}=0

，则

原式

\displaystyle\begin {align*}&=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(1+x_{n})^{\dfrac{1}{x_{n}}\cdot\dfrac{f(1+\dfrac{1}{n})-f(n)}{f(a)\cdot\dfrac{1}{n}}}\ &=\exp[\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{f(a)}\cdot\frac{f(1+\dfrac{1}{n})}{\dfrac{1}{n}}]\ &=\exp[\frac{f(a)^{'}}{f(a)}]\end{align*}

例1.18 （全国大学生数学竞赛决赛題）计算

\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\ln(x\ln a)\ln\left[\dfrac{\ln(ax)}{\ln(\dfrac{a}{x})}\right](a>1)

解 :

\displaystyle\begin{align*}\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\ln\left(1+\dfrac{2\ln a}{\ln x-\ln a}\right)^{\ln(x\ln a)}&=\ln(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}(1+\dfrac{2\ln a}{\ln x-\ln a})^{\dfrac{\ln x-\ln a}{2\ln a}\cdot\dfrac{\ln x-\ln\ln a}{\ln x-\ln a}\cdot2\ln a}\\&=\ln\exp\left[\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{1+\dfrac{1}{\ln x}\ln\ln a}{1-\dfrac{1}{\ln x}\ln a}2\ln a\right]=2\ln a \end{align*}

有问题的可以找小编。这几个题比较简单，主要就是重要极限的构造问题，希望大家好好体会。

作者：小熊

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原始发表：2021-11-26，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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