复数整理

复数的三角表示

复数是由实部和虚部组成的数： z=a+bi    (i^2=-1)，其中a为实部，b为虚部。

复平面：     Z(a,b)

这是一个平面直角坐标系，但是复数也可以用极坐标来表示，如：Z(ρ,θ)

其中的ρ代表模长|OZ|，θ代表与x坐标的角度。

通过极坐标向直角坐标的关系转化可以得到

直角坐标向极坐标转换可以得到

将 a、b 的三角取值代入 z=a+bi 就有

z=a+bi=ρcosθ+(ρsinθ)i=ρ(cosθ+isinθ)

这就是复数的三角形式。

复数的四则运算

令 z1=a+bi，z2=c+di

加法：z1+z2=(a+c)+(b+d) i

减法：z1-z2=(a-c)+(b-d) i

数乘：λz1=λa+λbi    (λ∈R)

乘法：z1*z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc) i

除法：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac-adi+bci+bd)/(c^2+d^2)=(ac+bd)+(bc-ad) i/(c^2+d^2)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad) i/(c^2+d^2)

在除法运算中，分子分母都会乘以一个分母 c+di 的共轭复数 c-di，将分母转化成实数。这里我们可以看到使用复平面的表示方式进行乘法和除法比较繁琐，而且缺乏可解释性，现在我们用复数的三角形式来运算它的乘法和除法。

令 z1=ρ1(cosθ1+isinθ1)，z2=ρ2(cosθ2+isinθ2)

乘法：z1z2=ρ1 (cosθ1+isinθ1)*ρ2 (cosθ2+isinθ2)=ρ1ρ2 (cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=ρ1ρ2 (cosθ1cosθ2+isinθ1cosθ2+icosθ1sinθ2-sinθ1sinθ2)

=ρ1ρ2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)

根据余弦和正弦公式，上式可以化为

=ρ1ρ2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))

根据上式，我们可知，两个复数相乘等于这两个复数的模相乘，得到新的模；辐角相加，得到新的辐角。

除法这里可以直接给出答案，为

z1/z2=(ρ1/ρ2)(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))

也就是，两个复数相除等于这两个复数的模相除，得到新的模；辐角相减，得到新的辐角。

共轭复数与模长

共轭复数

给定一个复数，保持它的实部不变，虚部给出相反数，就是其共轭复数。

从上图中，我们可以看出 Z 和它的共轭复数 Z' 是关于 x 轴对称的。

• 性质

Z*Z'=(a+bi)(a-bi)=

+

=

这里我们会发现复数乘以它的共轭复数可以转化成实数，也就是它的模的平方。

这个有点类似于共轭根式，如 (2+

)(2-

)=1，这里本来是两个无理数，相乘后变成了有理数。

从复数的三角形式来看

Z=ρ(cosθ+isinθ)，则 Z 的共轭复数为

Z'=ρ(cosθ-isinθ)

由于余弦函数是一个偶函数，所以 cosθ=cos (-θ)；正弦函数是一个奇函数，所以 - sinθ=sin (-θ)，故上式可以化为

Z'=ρ(cosθ-isinθ)=ρ(cos(-θ)+isin(-θ))

故如果复数的辐角是 θ，则其共轭的辐角就是 -θ。故复数乘以共轭，代表逆时针旋转了 θ，然后再顺时针旋转了 θ，刚好回到了实数轴，转化成了实数。

1. 共轭的加减法性质：
2. 共轭的乘除法性质：

模长

Z=a+bi

|Z|=

=|OZ|

• 模长满足三角不等式：|

|

|

|+|

|

如上图所示，我们设

=

+

，则 |

+

|=|

|，红色的边其实就是

，根据三角形两边之和大于第三边，故该三角不等式成立。

• 模长乘除等式：|

|=|

||

|，|

|=

令

=

(cos

+isin

)，

=

(cos

+isin

)

根据之前复数三角形式的乘法性质，有

=

(cos(

+

)+isin(

+

))

根据复数三角形式的定义，我们可知 |

|=

= |

||

|，得证。

根据之前复数三角形式的除法性质，有

=

(cos(

-

)+isin(

-

))

根据复数三角形式的定义，我们可知 |

|=

=

, 得证。

欧拉公式

如果令复数的模为 1，则

=cos

+isin

，

=cos

+isin

=cos(

+

)+isin(

+

)

令 Z=cosθ+isinθ=f (θ)，这里 f (θ) 是一个函数，那么

=f(

)，

=f(

)，则有

f(

)f(

)=f(

+

)

通过观察这个式子，我们可以回忆起初等函数中，指数函数是满足这个性质的。

令 f (x)=

，则 f (

)f(

)=

*

=

1. 虽然我们想将这两种形式对应起来，但是这里有一个问题就是指数函数

∈R (实数集)，而 Z∈C (复数集)

1. 且复数函数 f (θ) 是周期函数，周期为 2π

cos(θ+2π)+isin(θ+2π)=cosθ+isinθ=f(θ)

f(θ+2π)=f(θ)

1. 但是 f(x)=

不是周期函数

这里我们猜测指数函数 f(x)=

中的 a∈C，会不会有可能对应起来呢？

指数函数导数 f'(x)=a

=af(x)

复函数的导数 f'(θ)=-sinθ+icosθ=

sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ)=if(θ)

根据上面两个求导的推导 (有关指数函数和三角函数的求导可以参考高等数学整理 中的简单函数求导)，如果 f (θ)=

，则 a=i，则有

cosθ+isinθ=

这就是欧拉公式。

• 性质：

令 θ=π，则由欧拉公式有

-1=

则有

+1=0

这个就是欧拉恒等式。

• 复指数函数

现在我们对复指数函数的定义存在疑问。

Z∈C，令 g (Z)=

，g (Z) 函数需要满足两个条件:

1. g(0)=1
2. g'(Z)=g(Z)

由此，需要证明 g (iθ)=cosθ+isinθ

令 F (θ)=g(-iθ)

(cosθ+isinθ)，我们知道一个复数乘以它的共轭是一个实数，所以我们只需要证明 F (θ) 是一个实数就可以了。

F'(θ)=-i

(cosθ+isinθ)+

(-sinθ+icosθ)=0

这里需要注意的是

是一个复合函数，所以 (

)'=-i

。

由于实数的导数为 0，所以 F (θ) 是一个实数，得证。

• 复数的指数形式

由欧拉公式，我们来看一下指数形式的复数的乘法和除法。

=

，

=

=

=

=

由此，我们知道了复数的三种表示方法

1. Z=a+bi
2. Z=ρ(cosθ+isinθ)
3. Z=ρ

• 棣莫弗定理

令 Z=

=cosθ+isinθ，则

=

=cosnθ+isinnθ

=cosnθ+isinnθ     n∈N (整数集)

这个就是棣莫弗定理，它构建了 n 倍角和 1 倍角之间的关联。

当 n=2 的时候

=

+2icosθsinθ-

=(

-

)+(2cosθsinθ)i

这个是我们根据平方和公式推出来的结果，又根据棣莫弗公式有

=cos2θ+isin2θ

故可以得出我们的 2 倍角公式

1. cos2θ=

-

=2

-1

1. sin2θ=2cosθsinθ

当 n=3 的时候

=

+3

isinθ+3cosθ

+

=

+3

sinθ

i-3cosθ

-i

=(

-3cosθ

)+(3

sinθ-

)i

这个是我们根据立方和公式推出来的结果，又根据棣莫弗公式有

=cos3θ+isin3θ

故可以得出我们的 3 倍角公式

1. cos3θ=

-3cosθ

=4

-3cosθ

1. sin3θ=3

sinθ-

根据棣莫弗公式可以推出任意的多倍角公式，可以算 n=4、5、6......

这里我们会发现当 n=2 的时候，cos2θ=2

-1，它是一个关于 cosθ 的二次多项式，记作

(cosθ)；当 n=3 的时候，cos3θ= 4

-3cosθ，它是一个关于 cosθ 的三次多项式，记作

(cosθ)。

如果 n 取任意整数，cosnθ=

(cosθ)，它是一个关于 cosθ 的 n 次多项式，我们称该多项式为 (第一类) 切比雪夫多项式。

对于 sinnθ 来说，它满足这样的规律，

=

(cosθ)，它是一个关于 cosθ 的 n-1 次多项式，我们称该多项式为 (第二类) 切比雪夫多项式。