优美的曲线-译
来源：Some equations that describe beautiful curves 链接： 1. iviveros.github.io/param-eq/#introduction 2. mathworld.wolfram.com/ButterflyCurve.html
介绍 在本文中，我收集了一些生成我喜欢的曲线的方程式。 如果你喜欢数学艺术，我建议你看看哈米德·纳德里·叶加内的作品，他根据数学概念构建了美丽的图像。 蝴蝶曲线 Fay（1989）在论文中定义了蝶形曲线。该曲线根据以下参数方程进行描述：
x=sin(t)(ecos(t)−2cos(4t)−sin5(t12))
y=cos(t)(ecos(t)−2cos(4t)−sin5(t12))
t is in the range: [0,12π]
注意，t的范围。
绘制曲线网站：www.desmos.com/calculator/igjkczpymw?lang=zh-CN
# the function butterfly generates a data frame
# by evaluating the parametric equations that
# define the rose curve in the range of 0 to 12pi
butterfly <- function(n=1000){
data.frame(t = seq(0,12*pi,length.out = n)) %>%
mutate(x = sin(t)*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)-(sin(t/12))^5),
y = cos(t)*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)-(sin(t/12))^5))
}玫瑰 该曲线由以下参数方程描述：
n和d值组合的玫瑰曲线，定义k=n/d。 n和d跨度在[1，10]范围内
rose_curve <- function(n,d) {
data.frame(theta = seq(0, 32*pi,pi/180)) %>%
mutate(x = cos(n/d*theta)*cos(theta),
y = cos(n/d*theta)*sin(theta)) %>%
select(x, y)
}次摆线 有关内摆线的详细信息，请参阅Wolfram MathWorld文章。 当x（0）=a时，定义内摆线的参数方程为：
hypocycloid <- function(n = 200, a_inc,b_inc,t_inc){
a0 = seq(1,n)
b0 = seq(1,n)
t0 = seq(0,n-1)
for (i in 2:n) {
a0[i]=a0[i-1]+a_inc
b0[i]=b0[i-1]+b_inc
t0[i]=t0[i-1]+t_inc
}
data.frame(a0,b0,t0) %>%
mutate( x0 = (a0 - b0)*cos(t0) + b0 * cos((a0/b0-1)*t0),
y0 = (a0 - b0)*sin(t0) - b0 * sin((a0/b0-1)*t0),
x1 = c(x0[2:n],x0[1]),
y1 = c(y0[2:n],y0[1])) %>%
select(x0,y0,x1,y1,t0)
}Clifford吸引子
Clifford吸引子由以下方程定义：
xn+1=sin（ayn）+ccos（axn）
yn+1=sin（bxn）+dcos（byn）
上述方程确定了从点（x0，y0）开始并根据参数a、b、c和d的粒子离散步的（X，Y）位置。 功能选择基于Antonio Sánchez Chinchón的实现。唯一的区别是拾音器是基于R的，而Sánchez Chinchón通过rcpp包在C++中定义了他的功能。
# n is set to 1M
# a, b, c and d are the parameters of the equations
pickover <- function(n=10000000,a,b,c,d){
x <- vector("numeric", n)
y <- vector("numeric", n)
x[1] <- 0
y[1] <- 0
for(i in 2:n) {
x[i] <- sin(a * y[i-1]) + c * cos(a * x[i-1])
y[i] <- sin(b * x[i-1]) + d * cos(b * y[i-1])
}
df <- data.frame(x = x, y = y)
}References
Fay, Temple H. 1989. “The Butterfly Curve.” Journal Article. The American Mathematical Monthly 96 (5): 442–43.