UE(5)：投影、傅里叶变换与球谐函数
我需要一块二向箔，清理用 --- 《三体》
本篇系统介绍了个人对投影的理解，包括投影的数学概念和主要应用，以及如何在频域（傅里叶变换）和球面（球谐）上进行投影的相关内容。最后介绍了UE中球谐函数的实现细节。
投影
写作第一准则，“每增加一条公式便减少一半的读者”。虽然我百般的不舍，但还是得把事情说清楚，只好洒脱的安慰自己，我将失去活成一种获得。
Conformal Map
这样，只需要找到一个合适的目标函数，通过投影矩阵求解该函数的最小值，则可以解决很多现实中的应用，比如下图的地图投影，我们定义的目标函数是在三维空间投影到二维平面时，保持角度不变（conformal）。
地图投影
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶级数
2D傅里叶变换
点到中心的距离和方向分别代表了频率和平面波方向，而计算过程则和一维傅里叶没有差别。正如之前所说，傅里叶变换实现了空域，时域和频域的转换，数据有了一种新的表达方式。基于这种方式，可以实现数据的分析，压缩，以及预处理等各类应用。
球谐函数
傅里叶变换让我们实现了函数投影到正弦函数（频域）上，那投影在球面上会是什么效果呢？
球谐函数基函数
球谐函数还原
问题来了，数学家是怎么想到的，是先有了形状，还是先有的勒让德多项式。答案要从拉普拉斯方程说起（该部分不感兴趣的可以忽略，并不影响对球谐的理解）。
假设存在一个标量场，每一点对应一个数值，可以代表该点的温度，或者任何物理意义，拉普拉斯方程描述了该点对应梯度的散度。梯度容易理解，就是该点和临近点的变化情况，在三维空间中是一个的向量（下图）。
梯度
我们在该点无限小的空间构建一个微表面，散度（Divergence）则描述了在该表面流入和流出的变换情况。
散度
拉普拉斯方程则是先求一个标量场的梯度（向量场），然后求解该梯度的散度。如上图，梯度表达了该点的趋势，而梯度的散度则可以追溯这个趋势的源头（正）和尽头（负）。当拉普拉斯方程的值为零时，则代表了一种状态上的均衡，和谐，这也是Harmonics的由来。
如上是对一个标量场某一点x方向的二阶导的计算方式，y和z方向计算方式相同。当我们求解球面坐标系下的拉普拉斯方程，则得到球面上的谐和函数（Spherical Harmonics）。
下面，我们看一下UE中球谐函数对应的实现。
TSHVector
UE中的球谐函数封装在TSHVector模板类中，支持2阶和3阶，分别对应4个和9个基函数。
// SHMath.cpp
static int32 InitSHTables()在初始化时，会构建BasisL，BasisM，NormalizationConstants三个全局变量。BasisL和BasisM对应每一个基函数BasisIndex对应的L和M，而NormalizationConstants表示标准化因子(时还需乘以)：
上面的部分是固定不变的，而一组完整的球谐基函数则调用SHBasisFunction方法实现，输入参数是世界坐标系下的方向Vector，主要方法是LegendrePolynomial。
// SHMath.h
static TSHVector SHBasisFunction(const FVector& Vector)这样，我们获取了一组基函数对象TSHVector，对应最终的因子是积分下的内积，分别对应求和和乘法操作，分别调用如下的方法实现，因为参数是一个颜色，所以最终返回的是TSHVectorRGB，包括R，G，B三个分量。
// SHMath.h
TSHVectorRGB<Order> operator*(const TSHVector<Order>& A,const FLinearColor& B)
TSHVectorRGB operator+(const TSHVectorRGB& A,const TSHVectorRGB& InB)返回的结果TSHVectorRGB，里面存储了一组基函数对应的所有。
如上就是UE中球谐函数如何变换，生成基函数因子的过程。只要我们理解了球谐的原理，可以发现，UE中关于球谐的实现算法上并不复杂，属于无脑套公式的操作；主要还是在接口封装以及模板设计上的理解。
另外，ApplyWindowing方法用于解决球谐函数的振铃效应（ringing artifacts），这个和傅里叶变换中的原因一样，无论是球谐还是傅里叶，缺点就是无法保留高频部分的信息，因此在边界等高频区域，则无法真实还原。但我搜了一遍，该方法仅在Volume中调用。
这里仅介绍了UE中如何创建球谐函数，而如何使用球谐函数，属于lightmap的范畴。
总结
本文介绍了我对投影的理解，从基本的投影概念，最小二乘法，然后延伸到频域的傅里叶变换，以及球面的球谐函数。阐述了我对投影，傅里叶变换以及球谐函数的理解。最后给出了UE中球谐函数生成基函数因子的实现方法。似乎，我们还可以投影到导数上，你是否想到了另一位数学家呢？
写到这，突然想起了很久前看的电子书《Heros in my heart》，介绍了很多数学家的故事。借作者的话来做结尾：美丽有两种，一是深刻又动人的方程，一是你泛着倦意淡淡的笑容。
参考资料
[1]
3D Modelling Lecture 5 - Linear Algebra 3: https://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ddm/2019-2020/