【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 人工变量法案例 | 第三次迭代 | 中心元变换 | 检验数计算 | 最优解判定 )
【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 人工变量法案例 | 第三次迭代 | 中心元变换 | 检验数计算 | 最优解判定 )
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上一篇博客 【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 人工变量法案例 | 第一次迭代 | 中心元变换 | 检验数计算 | 选择入基变量 | 选择出基变量 ) 中 , 进行了第一次迭代 , 首先进行中心元变换 , 计算该单纯形表检验数 , 进行最优解判定 , 该初始基可行解不是最优解 , 先选择入基变量 , 然后根据入基变量选择出基变量 ; 本篇博客中开始进行第二次迭代计算 ;
一、第三次迭代 : 中心元变换
当前的单纯形表为 :
c j c_j cj | c j c_j cj | 3 3 3 | 2 2 2 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 0 0 0 | − M -M −M | − M -M −M | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数) | X B X_B XB 基变量 | 常数 b b b | x 1 x_1 x1 | x 2 x_2 x2 | x 3 x_3 x3 | x 4 x_4 x4 | x 5 x_5 x5 | x 6 x_6 x6 | x 7 x_7 x7 | θ i \theta_i θi |
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 ) | x 6 x_6 x6 | 4 4 4 | − 4 -4 −4 | 3 3 3 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 10 10 10 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 2 2 2 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7 系数 c 7 c_7 c7) | x 7 x_7 x7 | 1 1 1 | 2 2 2 | − 2 -2 −2 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2) | − 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 4 \sigma_4 σ4) | − M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | |||
第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 ) | x 6 x_6 x6 | 3 3 3 | − 6 -6 −6 | 5 5 5 | 0 0 0 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 移除 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 ( θ 6 \theta_6 θ6) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 8 8 8 | − 3 -3 −3 | 3 3 3 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 移除 | 8 3 \dfrac{8}{3} 38 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 1 1 1 | 2 2 2 | − 2 -2 −2 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 移除 | − - − ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 5 − 6 M 5-6M 5−6M ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 5 M 5M 5M ( σ 2 \sigma_2 σ2) | 0 0 0 | − M -M −M ( σ 4 \sigma_4 σ4) | 0 0 0 | 0 0 0 | 移除 | |||
第二次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 ) | x 2 x_2 x2 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | − 6 5 -\dfrac{6}{5} −56 | 1 1 1 | 0 0 0 | − 1 5 -\dfrac{1}{5} −51 | 0 0 0 | 移除 | 移除 | − - − ( θ 2 \theta_2 θ2) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 31 5 \dfrac{31}{5} 531 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | 0 0 0 | 0 0 0 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | 1 1 1 | 移除 | 移除 | 31 3 \dfrac{31}{3} 331 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 11 5 \dfrac{11}{5} 511 | − 2 5 -\dfrac{2}{5} −52 | 0 0 0 | 1 1 1 | − 2 5 -\dfrac{2}{5} −52 | 0 0 0 | 移除 | 移除 | − - − ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 5 5 5 ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 ( σ 4 \sigma_4 σ4) | 0 0 0 | 移除 | 移除 |
基变量系数 (目标函数)
基变量常数
( 目标函数
系数
)
(
)
( 目标函数
系数
)
(
)
( 目标函数
系数
)
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
(
)
(
)
第一次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
(
)
移除第二次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
移除移除
中心元 : 其中
是入基变量 ,
是出基变量 , 单纯形表中 ,
变量列与
变量行的交叉点就是中心元 ;
中心元变换 : 以中心元为轴 , 作变换 ;
- 中心元位置变换成
;
- 中心元同列的系数变换成
;
当前约束方程组等式为 :
方程
变换 :
将
中的
的系数变换为
, 在方程左右两边乘以
;
方程
变换 :
将
中的
的系数变换为
, 在变换完的方程
等式
左右两边乘以
, 与方程
相加 ;
方程
变换 :
将
中的
的系数变换为
, 在变换完的方程
等式
左右两边乘以
, 与方程
相加 ;
最终约束方程组等式为 :
二、第三次迭代 : 单纯形表
根据上述中心元变换结果 , 生成单纯形表 :
c j c_j cj | c j c_j cj | 3 3 3 | 2 2 2 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 0 0 0 | − M -M −M | − M -M −M | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数) | X B X_B XB 基变量 | 常数 b b b | x 1 x_1 x1 | x 2 x_2 x2 | x 3 x_3 x3 | x 4 x_4 x4 | x 5 x_5 x5 | x 6 x_6 x6 | x 7 x_7 x7 | θ i \theta_i θi |
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 ) | x 6 x_6 x6 | 4 4 4 | − 4 -4 −4 | 3 3 3 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 10 10 10 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 2 2 2 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7 系数 c 7 c_7 c7) | x 7 x_7 x7 | 1 1 1 | 2 2 2 | − 2 -2 −2 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2) | − 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 4 \sigma_4 σ4) | − M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | |||
第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 ) | x 6 x_6 x6 | 3 3 3 | − 6 -6 −6 | 5 5 5 | 0 0 0 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 移除 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 ( θ 6 \theta_6 θ6) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 8 8 8 | − 3 -3 −3 | 3 3 3 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 移除 | 8 3 \dfrac{8}{3} 38 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 1 1 1 | 2 2 2 | − 2 -2 −2 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 移除 | − - − ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 5 − 6 M 5-6M 5−6M ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 5 M 5M 5M ( σ 2 \sigma_2 σ2) | 0 0 0 | − M -M −M ( σ 4 \sigma_4 σ4) | 0 0 0 | 0 0 0 | 移除 | |||
第二次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 ) | x 2 x_2 x2 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | − 6 5 -\dfrac{6}{5} −56 | 1 1 1 | 0 0 0 | − 1 5 -\dfrac{1}{5} −51 | 0 0 0 | 移除 | 移除 | − - − ( θ 2 \theta_2 θ2) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 31 5 \dfrac{31}{5} 531 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | 0 0 0 | 0 0 0 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | 1 1 1 | 移除 | 移除 | 31 3 \dfrac{31}{3} 331 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 11 5 \dfrac{11}{5} 511 | − 2 5 -\dfrac{2}{5} −52 | 0 0 0 | 1 1 1 | − 2 5 -\dfrac{2}{5} −52 | 0 0 0 | 移除 | 移除 | − - − ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 5 5 5 ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 ( σ 4 \sigma_4 σ4) | 0 0 0 | 移除 | 移除 | |||
第三次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 ) | x 2 x_2 x2 | 13 13 13 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 2 2 2 | 移除 | 移除 | ? ? ? ( θ 2 \theta_2 θ2) |
3 3 3 ( 目标函数 x 1 x_1 x1 系数 c 1 c_1 c1) | x 1 x_1 x1 | 31 3 \dfrac{31}{3} 331 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 5 3 \dfrac{5}{3} 35 | 移除 | 移除 | ? ? ? ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 19 3 \dfrac{19}{3} 319 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 2 3 \dfrac{2}{3} 32 | 移除 | 移除 | ? ? ? ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | ? ? ? ( σ 4 \sigma_4 σ4) | ? ? ? ( σ 5 \sigma_5 σ5) | 移除 | 移除 |
基变量系数 (目标函数)
基变量常数
( 目标函数
系数
)
(
)
( 目标函数
系数
)
(
)
( 目标函数
系数
)
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
(
)
(
)
第一次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
(
)
移除第二次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
移除移除第三次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)移除移除
三、第三次迭代 : 检验数计算
1 . 计算非基变量
的检验数
:
2 . 计算非基变量
的检验数
:
四、第三次迭代 : 最优解判定
根据上述三个检验数
的值 , 所有的检验数小于等于
, 该基可行解是最优解 ;
只有当检验数都小于等于
时 , 该基可行解才是最优解 ;
五、第三次迭代 : 最终单纯形表
根据上述中心元变换结果 , 生成单纯形表 :
c j c_j cj | c j c_j cj | 3 3 3 | 2 2 2 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 0 0 0 | − M -M −M | − M -M −M | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数) | X B X_B XB 基变量 | 常数 b b b | x 1 x_1 x1 | x 2 x_2 x2 | x 3 x_3 x3 | x 4 x_4 x4 | x 5 x_5 x5 | x 6 x_6 x6 | x 7 x_7 x7 | θ i \theta_i θi |
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 ) | x 6 x_6 x6 | 4 4 4 | − 4 -4 −4 | 3 3 3 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 10 10 10 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 2 2 2 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7 系数 c 7 c_7 c7) | x 7 x_7 x7 | 1 1 1 | 2 2 2 | − 2 -2 −2 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2) | − 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 4 \sigma_4 σ4) | − M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | |||
第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 ) | x 6 x_6 x6 | 3 3 3 | − 6 -6 −6 | 5 5 5 | 0 0 0 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 移除 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 ( θ 6 \theta_6 θ6) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 8 8 8 | − 3 -3 −3 | 3 3 3 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 移除 | 8 3 \dfrac{8}{3} 38 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 1 1 1 | 2 2 2 | − 2 -2 −2 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 移除 | − - − ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 5 − 6 M 5-6M 5−6M ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 5 M 5M 5M ( σ 2 \sigma_2 σ2) | 0 0 0 | − M -M −M ( σ 4 \sigma_4 σ4) | 0 0 0 | 0 0 0 | 移除 | |||
第二次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 ) | x 2 x_2 x2 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | − 6 5 -\dfrac{6}{5} −56 | 1 1 1 | 0 0 0 | − 1 5 -\dfrac{1}{5} −51 | 0 0 0 | 移除 | 移除 | − - − ( θ 2 \theta_2 θ2) |
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5) | x 5 x_5 x5 | 31 5 \dfrac{31}{5} 531 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | 0 0 0 | 0 0 0 | 3 5 \dfrac{3}{5} 53 | 1 1 1 | 移除 | 移除 | 31 3 \dfrac{31}{3} 331 ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 11 5 \dfrac{11}{5} 511 | − 2 5 -\dfrac{2}{5} −52 | 0 0 0 | 1 1 1 | − 2 5 -\dfrac{2}{5} −52 | 0 0 0 | 移除 | 移除 | − - − ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 5 5 5 ( σ 1 \sigma_1 σ1) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 ( σ 4 \sigma_4 σ4) | 0 0 0 | 移除 | 移除 | |||
第三次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – |
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 ) | x 2 x_2 x2 | 13 13 13 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 2 2 2 | 移除 | 移除 | ? ? ? ( θ 2 \theta_2 θ2) |
3 3 3 ( 目标函数 x 1 x_1 x1 系数 c 1 c_1 c1) | x 1 x_1 x1 | 31 3 \dfrac{31}{3} 331 | 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 5 3 \dfrac{5}{3} 35 | 移除 | 移除 | ? ? ? ( θ 5 \theta_5 θ5 ) |
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3) | x 3 x_3 x3 | 19 3 \dfrac{19}{3} 319 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 2 3 \dfrac{2}{3} 32 | 移除 | 移除 | ? ? ? ( θ 3 \theta_3 θ3 ) |
σ j \sigma_j σj ( 检验数 ) | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | − 5 -5 −5 ( σ 4 \sigma_4 σ4) | - 25 3 \dfrac{25}{3} 325 ( σ 5 \sigma_5 σ5) | 移除 | 移除 |
基变量系数 (目标函数)
基变量常数
( 目标函数
系数
)
(
)
( 目标函数
系数
)
(
)
( 目标函数
系数
)
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
(
)
(
)
第一次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
(
)
移除第二次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 检验数 )
(
)
(
)
移除移除第三次迭代––––––––––
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 目标函数
系数
)
移除移除
(
)
( 检验数 )
(
)-
(
)移除移除
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