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一、斐波那契数列求解
1 . 斐波那契数列示例 :
( 1 ) 斐波那契数列 :
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots( 2 ) 递推方程 :
F(n) = F(n-1) + F(n-2)描述 : 第
n 项等于第
n-1 项 和 第
n-2 项之和 ;
如 : 第
4 项的值
F(4) = 5 , 就等于
第
4-1=3 项的值
F(4-1)=F(3) = 3加上 第
4-2=2 项的值
F(4-2) = F(2) =2 ;
( 3 ) 初值 :
F(0) = 1 , F(1) = 1根据
F(0) = 1, F(1) = 1 可以计算
F(2) , 根据
F(1),F(2) 可以计算
F(3) , 根据
F(2)F(3) 可以 计算
F(4) ,
\cdots , 根据
F(n-2) , F(n-1) 可以计算
F(n) ;
2 . 写出斐波那契数列的特征方程并求解特征根 :
递推方程 :
F(n) = F(n-1) + F(n-2)( 1 ) 递推方程标准形式 :
F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0( 2 ) 递推方程写法 :
① 先确定特征方程的项数 : 与递推方程项数相同 ,
3 项 ;
② 在确定特征方程
x 的次幂 : 从
3-1=2 到
0 ;
③ 初步写出没有系数的递推方程 :
x^2 + x^1 + x^0 = 0④ 填充系数 : 然后将没有系数的特征方程
x^2 + x^1 + x^0 = 0 与
F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0 对应位的系数填充到特征方程中 :
x^2 前的系数 对应
F(n) 项前的系数
1 ;
x^1 前的系数 对应
F(n-1) 项前的系数
-1 ;
x^0 前的系数 对应
F(n-2) 项前的系数
-1 ;
则最终的 特征方程是
1 x^2 + (-1)x^1 + (-1)x^0 = 0 , 化简后为 :
x^2 - x - 1 = 0特征方程的特征根是 : 上述方程的解就是特征根 , 一般都是一元二次方程 ;
x = \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} 参考 : 一元二次方程形式
ax^2 + bx + c = 0
解为 :
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}3 . 写出斐波那契数列的通解 :
斐波那契数列递推方程的特征根是 :
\cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} ;
q_1 = \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ,
q_2 =\cfrac{1 - \sqrt{5}}{2}其通解的形式为
F(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n将特征根
q_1 , q_2 代入上述通解形式后变成 :
F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n4 . 将递推方程初值代入 通解 , 求解通解中的常数:
斐波那契数列 递推方程初值 :
F(0) = 1 , F(1) = 1代入上述初值
F(0) = 1 , F(1) = 1 到 递推方程通解
F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n 中 , 得到如下方程组 :
\begin{cases} c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^0 + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^0 = F(0) = 1 \\\\ c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^1 + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^1 = F(1) = 1 \end{cases}化简后得到 :
\begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \\\\ c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) = 1 \end{cases}解出上述方程组 :
c_1 =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \ c_2 =-\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2}将常数
c_1 =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \ c_2 =-\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} 代入到通解
F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n 中 , 可以得到通解 :
F(n) = \cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n - \cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n化简后为 :
F(n) = \cfrac{1}{\sqrt{5}}( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^{n+1} - \cfrac{1}{\sqrt{5}} ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^{n+1}二、无重根下递推方程求解完整过程
无重根下递推方程求解完整过程 :
- 1 . 写出特征方程 :
- ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0 ;
- ( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
- ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
-1 , 最低次幂
0 ;
- ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
- ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
- 2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
- 4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k 个
k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
- ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ;
递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数
