【组合数学】递推方程 ( 有重根递推方程求解问题 | 问题提出 )

文章目录

• 一、有重根递推方程求解问题
• 二、有重根递推方程示例

一、有重根递推方程求解问题

有些 递推方程 的 特征方程 的 特征根 有 重根 的情况 , 特征方程解出来的 特征根有一部分是相等的 , 这样就使得 通解中的常数无法获取唯一的值 ;

参考 : 【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理

在 “无重根下递推方程通解结构定理” 章节中 , 通解要求 方程组中的 系数行列式不等于

,

, 如果有两个特征根

相等 , 则上面的 "系数行列式不等于

" 便无法实现 ;

如果特征方程有重根 , 就不能使用 “无重根下递推方程公式求法” 进行递推方程的求解 ;

针对有重根的递推方程 , 需要将其 线性无关的元素 都找到 , 线性组合在一起 , 才能得到通解 ;

线性组合 : 将一个解乘以

, 另一个解乘以

, 相加之后的组合 ;

二、有重根递推方程示例

递推方程 :

初值 :

无重根下递推方程求解完整过程 :

• 1 . 写出特征方程 :
  • ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是

  0

  ;

  • ( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
  • ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数

  -1

  , 最低次幂

  0

  ;

  • ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
  • ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
• 2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,

• 3 . 构造递推方程的通解 : 构造

形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

• 4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到

个

元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

• ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ; 递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数

根据上述求解过程进行求解 :

1 . 特征方程 :

( 1 ) 递推方程标准形式 : 递推方程已经是标准形式 ;

( 2 ) 特征方程项数 : 与 递推方程项数 相同 ,

项 ;

( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数减一 ,

, 最低次幂

;

( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 :

( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;

2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,

两个特征根都是

,

;

3 . 构造递推方程的通解 : 构造

形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

通解是 :

4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到

个

元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

将

代入到

特征方程中 ,

是无解的 ;

如果 两个特征根 都是

, 线性相关 , 此时就 无法确定通解中的

待定常数 ;

观察

是解 , 该解与

线性无关 , 将上述两个解进行线性组合 ,

线性组合 , 是递推方程的解 ,

将初值代入 , 可以解出

常数的值 ;