有些 递推方程 的 特征方程 的 特征根 有 重根 的情况 , 特征方程解出来的 特征根有一部分是相等的 , 这样就使得 通解中的常数无法获取唯一的值 ;
参考 : 【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理
在 “无重根下递推方程通解结构定理” 章节中 , 通解要求 方程组中的 系数行列式不等于
,
, 如果有两个特征根
相等 , 则上面的 "系数行列式不等于
" 便无法实现 ;
如果特征方程有重根 , 就不能使用 “无重根下递推方程公式求法” 进行递推方程的求解 ;
针对有重根的递推方程 , 需要将其 线性无关的元素 都找到 , 线性组合在一起 , 才能得到通解 ;
线性组合 : 将一个解乘以
, 另一个解乘以
, 相加之后的组合 ;
递推方程 :
初值 :
无重根下递推方程求解完整过程 :
;
, 最低次幂
;
形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
个
元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
根据上述求解过程进行求解 :
1 . 特征方程 :
( 1 ) 递推方程标准形式 : 递推方程已经是标准形式 ;
( 2 ) 特征方程项数 : 与 递推方程项数 相同 ,
项 ;
( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数减一 ,
, 最低次幂
;
( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 :
( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
两个特征根都是
,
;
3 . 构造递推方程的通解 : 构造
形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
通解是 :
4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
个
元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
将
代入到
特征方程中 ,
是无解的 ;
如果 两个特征根 都是
, 线性相关 , 此时就 无法确定通解中的
待定常数 ;
观察
是解 , 该解与
线性无关 , 将上述两个解进行线性组合 ,
线性组合 , 是递推方程的解 ,
将初值代入 , 可以解出
常数的值 ;