【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程的非齐次部分是多项式与指数组合方式 | 通解的四种情况 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:32:48

4050

发布于 2023-03-28 18:32:48

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

一、常系数线性非齐次递推方程的非齐次部分是多项式与指数组合方式

如果 “常系数线性非齐次递推方程” 的非齐次部分 , 是

的

次多项式 , 与

\beta^n

的指数 , 的组合 ;

那么其特解的形式 , 是

的

次多项式 , 与

P\beta^n

的和 ;

递推方程 :

a_n - 2a_{n-1} = n + 3^n

初值 :

a_0 = 0

通解形式 ( 重要 ) :

① 非齐次部分是

的

次多项式 :

特征根不为

, 特解是

的

次多项式 ;

如果特征根为

, 且重数为

, 那么特解是

的

t + e

次多项式 ;

② 非齐次部分是

P\beta^n

特征根不能是底

\beta

, 特解是

P\beta^n

;

特征根是底

\beta

, 该特征根重数为

, 特解是

Pn^e\beta^n

;

③ 齐次部分没有重根 :

H(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n

④ 齐次部分有重根 : 通解第

项 , 特征根

q_i

, 重数

e_i

H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n

, 最终通解

H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)

;

参考博客 : 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程的非齐次部分是多项式与指数组合方式 | 通解的四种情况 )

计算齐次部分通解 :

递推方程齐次部分标准形式 :

a_n - 2a_{n-1} = 0

特征方程 :

x - 2 = 0

特征根 :

x=2

齐次部分通解 :

\overline{a_n} =c2^n

计算非齐次部分通解 :

上述递推方程非齐次部分是

n + 3^n

, 由两部分构成 :

的

次多项式 :

, 特征根不为

, 对应的特解是

的

次多项式 , 形式为

P_1n + P_2

;

\beta^n

指数 :

3^n

, 特征根不是底

, 对应的特解是

P\beta^n

形式 , 形式为

P_33^n

;

完整的特解 :

a^*_n = P_1n + P_2 + P_33^n

将特解代入到递推方程 :

(P_1n + P_2 + P_33^n) - 2[P_1(n-1) + P_2 + P_33^{n-1}] = n + 3^n

将左边式子展开 :

-P_1n + (2P_1 - P_2) + P_33^{n-1}=n+3^n

根据分析

的次幂项 , 常数项 ,

3^n

项的对应关系 , 可以得到以下方程组 :

\begin{cases} -P_1 = 1 \\\\ 2P_1 - P_2 = 0 \\\\ \cfrac{P_3}{3} =1 \end{cases}

解上述方程组 , 结果为 :

\begin{cases} P_1 = -1 \\\\ P_2 = -2 \\\\ P_3 =3 \end{cases}

特解 : 将上述常数代入到

a^*_n = P_1n + P_2 + P_33^n

中 , 得到最终特解 :

a^*_n = -n - 2 + 3^{n+1}

;

齐次部分通解形式 :

\overline{a_n} =c2^n

完整通解 :

a_n = \overline{a_n} + a^*_n = c2^n -n - 2 + 3^{n+1}

将初值

a_0 = 0

代入上述通解 :

c2^0 - 0 - 2 + 3^{0+1} = 0

c - 2 + 3 = 0

c=-1

最终递推方程的通解是

a_n = 2^n -n - 2 + 3^{n+1}

二、递推方程通解的四种情况

通解形式 ( 重要 ) :

① 非齐次部分是

的

次多项式 :

特征根不为

, 特解是

的

次多项式 ;

如果特征根为

, 且重数为

, 那么特解是

的

t + e

次多项式 ;

② 非齐次部分是

P\beta^n

特征根不能是底

\beta

, 特解是

P\beta^n

;

特征根是底

\beta

, 该特征根重数为

, 特解是

Pn^e\beta^n

;

③ 齐次部分没有重根 :

H(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n

④ 齐次部分有重根 : 通解第

项 , 特征根

q_i

, 重数

e_i

H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n

, 最终通解

H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)

;

参考博客 : 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程的非齐次部分是多项式与指数组合方式 | 通解的四种情况 )

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2020-10-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

博客

数学

本文分享自作者个人站点/博客前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

博客

数学

登录后参与评论

0 条评论

热度