【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:37:39

4300

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

参考博客 :

一、生成函数换元性质

生成函数求和性质 1 :

b_n = \alpha^n a_n

, 则

B(x) =A( \alpha x)

数列

a_n

的生成函数是

A(x)

, 数列

b_n

的生成函数是

B(x)

,

数列

a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots \}

, 数列

b_n = \{ \alpha^0a_0 , \alpha^1a_1, \alpha^2a_2 , \cdots \}

;

数列

a_n

的生成函数

A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots

数列

b_n

的生成函数

B(x) = \alpha^0a_0x^0 + \alpha^1a_1x^1 + \alpha^2a_2x^2 + \cdots

证明方法 :

在

b_n

的生成函数

B(x)

中 , 将

\alpha^0x^0

看作一项 , 将

\alpha^1x^1

看作一项 , 将

\alpha^2x^2

看作一项 ,

观察上述项可以看出 ,

\alpha

与

x

的幂值是相同的 ,

因此可以将

\alpha x

看作一个变量 ,

这样通过换元可以得到

B(x) =A( \alpha x)

公式 ;

二、生成函数求导性质

生成函数求导性质 :

b_n = n a_n

, 则

B(x) =xA'( x)

数列

a_n

的生成函数是

A(x)

, 数列

b_n

的生成函数是

B(x)

,

数列

a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots , a_n , \cdots \}

, 数列

b_n = \{ 0a_0 , a_1, 2a_2 , \cdots, na_n ,\cdots \}

;

数列

a_n

的生成函数

A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots

数列

b_n

的生成函数

B(x) = 0a_0x^0 + 1a_1x^1 + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^n + \cdots

证明上述性质 :

将数列

a_n

的生成函数

A(x)

求导 , 再乘以

x

, 即可得到

B(x)

;

A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots

使用导数公式 :

(x^n)' = nx^{n-1}

参考 : 求导-百度百科

A'(x) = 0 + a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n-1} + \cdots

xA'(x) = 0 + a_1x + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^{n} + \cdots = B(x)

三、生成函数积分性质

b_n = \cfrac{a_n}{n+1}

, 则

B(x) =\cfrac{1}{x} \int^{x}_{0} A( x)dx

上述性质很难记忆 , 由已知生成函数 , 可以推导出未知的生成函数 , 使用时推导即可 ;

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2020-10-28，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

百度

本文分享自作者个人站点/博客前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度