【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:47:35

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发布于 2023-03-30 11:47:35

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一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 "

使用 " 线性常系数差分方程 " 描述系统 :

y(n) = ay(n-1) + x(n)

输入序列 :

x(n) = \delta (n)

计算输出

y(n)

;

假设 " 初始条件 " : 零状态为

y(-1) = 0

当

n = 0

时 ,

\delta (0) = 1

,

y(0) = ay(0-1) + \delta(0) = a \times 0 + \delta (0) = 1

当

n = 1

时 ,

\delta (1) = 0

,

y(1) = ay(1-1) + \delta(1) = a \times y(0) + \delta (1) = a

当

n = 2

时 ,

\delta (2) = 0

,

y(2) = ay(2-1) + \delta(2) = a \times y(1) + \delta (2) =a ^2

\ \ \ \ \ \ \vdots

当

n = n

时 ,

y(n) = a^n u(n)= h(n)

假设 " 初始条件 " : 零状态为

y(-1) = 1

当

n = 0

时 ,

y(0) = ay(-1) + \delta(0) = 1 + a

当

n = 1

时 ,

y(1) = ay(0) + \delta(1) = (1 + a)a

当

n = 2

时 ,

y(2) = ay(1) + \delta(2) = ( 1 + a )a ^2

\ \ \ \ \ \ \vdots

当

n = n

时 ,

y(n) = (1 + a)a^n u(n) \not= h(n)

" 线性常系数差分方程 " 表示的不一定是 " 线性时不变系统 LTI " ;

二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性

在上面的示例中 , 相同的 " 线性常系数差分方程 "

y(n) = ay(n-1) + x(n)

相同的 " 输入序列 "

x(n) = \delta(n)

由于 " 初始条件 " 不同 ,

y(-1) = 1

和

y(-1) = 0

这两个初始条件 ,

得到的解 , 也就是 " 输出序列 " 也不同 ;

如果 " 线性常系数差分方程 " 的 " 初始条件 " 不确定 , 则其相应的 " 解 " 也不能确定 ;

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原始发表：2022-02-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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