【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 13:10:02

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文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一、序列对称分解定理示例

一、序列对称分解定理示例

实因果序列

h(n)

其共轭对称序列

h_e(n)

其共轭反对称序列

h_o(n)

找出

h(n)

与

h_e(n)

序列的关系 ,

h(n)

与

h_o(n)

序列的关系 ;

1、序列对称分解定理

任意一个序列

x(n)

, 都可以使用其共轭对称序列

x_e(n)

与共轭反对称序列

x_o(n)

之和来表示 ;

x(n) = x_e(n) + x_o(n)

共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]

共轭反对称序列

x_o(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

2、因果序列

① 离散时间系统因果性 :

" 离散时间系统 "

时刻的 " 输出 " ,

只取决于

时刻及

时刻之前的 " 输入序列 " ,

与

时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

离散时间系统的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;

" ② 离散时间系统因果性 " 的充分必要条件是 :

h(n) = 0 \ \ n < 0

模拟系统的 " 单位冲激响应 " , 必须从

时刻开始才有值 , 是 " 单边序列 " 类型中的 " 右边序列 " ,

时刻的值也就是起点不能为

;

3、求解过程

h(n)

实序列的奇偶对称 :

偶对称 ( 共轭对称 ) :

h_e(n) = h_e(-n)

奇对称 ( 共轭反对称 ) :

h_o(n) = -h_o(-n)

n < 0 情况

h(n)

是因果序列 , 对于

n< 0

时 ,

h(n) = 0

根据序列对称分解定理 , 共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系 , 可以得到

h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)]

其中 , 将

h(n) = 0

代入上式 , 可得到

h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)] = 0.5 \times [0 + h(-n)] = 0.5 \times h(-n)

根据序列对称分解定理 , 共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系 , 可以得到

h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)]

其中 , 将

h(n) = 0

代入上式 , 可得到

h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)] = 0.5 \times [0- h(-n)] = -0.5 \times h(-n)

n = 0 情况

由于

h_e(n)

是偶对称的 ,

h_o(n)

是奇对称的 , 因此有

h_e(0) = h(0)

h_o(0) = 0

n > 0 情况

h(n)

是因果序列 , 对于

n > 0

时 ,

h(-n) = 0

根据序列对称分解定理 , 共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系 , 可以得到

h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)]

其中 , 将

h(-n) = 0

代入上式 , 可得到

h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)] = 0.5 \times [h(n) + 0] = 0.5 \times h(n)

根据序列对称分解定理 , 共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系 , 可以得到

h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)]

其中 , 将

h(-n) = 0

代入上式 , 可得到

h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)] = 0.5 \times [h(n)- 0] = -0.5 \times h(n)

实因果序列的对称序列与原序列关系

h_e(n)

与

h(n)

关系 :

h_e(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}

根据上式 , 可以反推

h(n)

与

h_e(n)

关系 :

h(n) =\begin{cases} h_e(0) & n = 0 \\\\ 2h_e(n) & n > 0 \\\\ 0 & n < 0 \end{cases}

h_o(n)

与

h(n)

关系 :

h_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{-h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}

根据上式 , 可以反推

h(n)

与

h_0(n)

关系 :

h(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ 2h_o(n) & n > 0 \\\\ 0 & n < 0 \end{cases}

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原始发表：2022-03-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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