旋转矩阵

矩阵乘法可以理解为空间的映射，本文记录旋转矩阵的作用。

矩阵乘法

矩阵乘法可以理解为向量之间的投影，左侧矩阵的行向量与右侧矩阵的列向量投影作为结果。

当左侧矩阵为 N 维空间上的一组基时，这种乘法又可以看做是在求解原始空间中的向量 [b_1,b_4,b_7] 在空间中新的基下的表示 [c_1,c_4,c_7] 。

如果基的模长为1，那么求解原始空间中向量在新空间表示的长度时，其实就是原始向量在各个单位向量基上的投影长度，这也是基一般都是单位长度的原因。

旋转矩阵

旋转矩阵是特殊的单位基，用角度和三角函数表示基的大小，例如 [\cos \theta,\sin\theta]

这样基天然就是单位长度，而且带有可解释的含义，经过这样的基映射后，相当于原始空间的某个轴旋转了某个角度 \theta

旋转示例

原始二维笛卡尔坐标系空间中的一点 A(x,y) ，现将 X 轴和 Y 轴分别逆时针旋转 \theta _ x , \theta _ y 角度，之后原始的 A 点在新空间有新的表示 A’(x’,y’) 。

新的 X 轴在原始坐标系下的单位向量为 [\cos \theta_x,\sin \theta_x] ，新的 Y 轴在原始坐标系下的单位向量为 [-\sin \theta_y,\cos \theta_y]

那么 A 在新坐标系下的坐标为 OA 向量分别到两个单位向量的投影长度：

$$ \begin{array}{l} x'=x\cos \theta_x+y\sin\theta_x\ y'=-x\sin \theta_y+y\cos\theta_y\ \end{array} $$

这也就完成了 A 的坐标系转换，用矩阵表示就是：

$$ RA= \left\begin{array}{cc}\cos \theta_x & \sin \theta_x \ -\sin \theta_y & \cos \theta_y\end{array}\right \left\begin{array}{cc}x \ y \end{array}\right = \left\begin{array}{cc}x' \ y' \end{array}\right $$

其中 R =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta_x & \sin \theta_x \\ -\sin \theta_y & \cos \theta_y\end{array}\right] $``$X,Y 轴不一定垂直的特殊旋转，一般常用的旋转矩阵为 \theta_x = \theta_y ，这里的是更一般的应用场景。

参考资料

• https://baike.baidu.com/item/旋转矩阵/3265181?fr=aladdin

文章链接： https://cloud.tencent.com/developer/article/2258874