【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结11(多元统计分析基本概念)

随机向量

个随机变量，由它们组成的向量：

称为随机向量。

随机向量的分布函数和密度函数

是一随机变量，它的多元分布函数是：

式中：

，使得：

对一切

f(\cdot)仍然要满足==非负归一性==。

随机向量的独立性

称为相互独立的，若

对一切

1. 若F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，G(x)和H(y)分别为X和Y的分布函数，则X和Y相互独立当且仅当F(x,y)=G(x)H(y)。
2. 若(X,Y)有分布密度函数f(x,y)，用g(x)和h(y)分别表示X和Y的密度函数，则X和Y相互独立当且仅当f(x,y)=g(x)h(y)。

• 在上述定义中，X和Y的维数一般是不同的。
• 可推广到多元。

随机向量的均值

设X=(X_1, X_2,\cdots,X_p)^\top有p个分量，若E(X_i)=\mu_i(i=1,2,\cdots,p)存在，定义随机向量X的均值为： 式中，\vec{\mu}为一个p

当A、B为常数矩阵时，由定义可以立即推出如下性质：

1. E(AX)=AE(X)
2. E(AXB)=AE(X)B

随机向量的协方差矩阵

$$ \begin{aligned} D(X)&=Cov(X,X)=E{[X-E(X)][X-E(X)]^\top) \ &= \begin{bmatrix} Cov(X_1,X_1) & Cov(X_1,X_2) &\cdots & Cov(X_1,X_p) \ Cov(X_2,X_1) & Cov(X_2,X_2) &\cdots & Cov(X_2,X_p) \ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \ Cov(X_p,X_1) & Cov(X_p,X_2) &\cdots & Cov(X_p,X_p) \ \end{bmatrix} \ &=(\sigma_{ij})_{p\times p}=\Sigma \end{aligned} $$

称为p维随机向量X的协方差矩阵，简称为X的协方差矩阵，称|Cov(X,X)|为X的广义方差，它是协方差矩阵的行列式之值。 称为随机向量X和Y的协方差矩阵，若Cov(X,Y)=\vec{0}，则称X和Y

当A、B为常数矩阵时，由定义可以推出协方差矩阵有如下性质：

1. D(AX)=AD(X)A^\top=A\Sigma A^\top
2. Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B^\top
3. 协方差矩阵是一个半正定矩阵

随机向量的相关矩阵

的相关矩阵，其中：

这里

为标准差矩阵，则：

或