【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结4（随机变量的数字特征）

Marigold

发布于 2023-08-23 15:01:12

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版本：1.0.1 最后更新时间：2022年11月10日 09:07 修改次数：1 历史修改内容： 1.0.1：随机变量函数的期望公式

数学期望

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF(x)

离散型

\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k 绝对收敛

\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k=E(X)

连续型

绝对收敛

\int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx=E(X)

性质：

E(C)=C, C是常数
E(kX)=kE(X),k是常数
E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2), \quad E(\sum\limits_{i=1}^{n} X_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i)
若X、Y独立\Longrightarrow E(XY)=E(X)E(Y)

随机变量函数的期望

一维（$Y=g(X)$）

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dF(x)

离散型

E(Y)=E[g(X)]=\sum\limits_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k

连续型

E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)p(x)dx

X \sim N(0, \sigma^2), 求 E(X^n). n为奇数：E(X^n)=\sigma^n(n-1)!!,n为偶数：E(X^n)=0

二维（$Z=g(X,Y)$）

E(Z)=E[g(X,Y)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)dF(x,y)

离散型

E(Z)=\sum_{i,j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}

连续型

E(Z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)p(x,y)dxdy

方差

D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2)-E^2(X)

的求法：

E(X^2)=D(X)+E^2(X)

*性质：

D(C)=0, C为常数
D(CX)=C^2D(X)

\begin{aligned}D(aX \pm bY)&=a^2D(X)+b^2D(Y) \pm 2abCov(X,Y) \ &=a^2D(X)+b^2D(Y) \pm 2ab\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}\end{aligned}

D(aX+b)=a^2D(X), \quad D(\sum\limits_{i=1}^{n} C_iX_i +b)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_i^2D(X_i)
D(X)=0 \Longleftrightarrow P{X=c}=1,c=E(X)

协方差

$$ \begin{aligned} Cov(X,Y) &=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} \ &=E(XY)-E(X)E(Y) \ &=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)} \end{aligned} $$

性质：

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(X,X)=D(X)
Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
Cov(X+Y, Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

随机向量的期望和方差

EY=l^\top a, DY=l^\top Bl

设

EY=Ca,DY=CBC^\top

特征函数

f(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}dF(x)

离散型

f(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}e^{itX_i}p_i

连续型

f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p(x)dx

性质：

f(0)=1
f(-t)=\bar{f(t)}
若a、b是常数，Y=aX+b，则f_Y(t)=E(e^{it(aX+b)})=Ee^{itb}Ee^{itaX}=e^{itb}f_X(at)
若X、Y相互独立，则f_{X+Y}(t)=f_X(t)f_Y(t)
EX^k=(-i)^kf_X^{(k)}(0)

常见分布的特征函数及其推导过程

切比雪夫不等式

P{|X-EX|\ge \epsilon}\le \frac{DX}{\epsilon^2}

柯西-施瓦兹不等式

$$ \begin{aligned} |E(XY)|^2 \le EX^2EY^2 \ Cov^2(X,Y) \le DXDY \end{aligned} $$

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原始发表：2022-11-10 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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sum

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