【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结5(大数定律和中心极限定理)
【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结5(大数定律和中心极限定理)
伯努利大数定律
大数定律
$$ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}P{|\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{\infty}X_k-a_n|\ge\epsilon }=0 \ \lim_{n\rightarrow\infty}P{|\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{\infty}X_k-a_n|<\epsilon }=1 \end{aligned} $$
切比雪夫大数定律
特别地：当X_i
辛钦大数定律
条件：独立同分布，期望存在且相同
大数定律 | 独立性 | 期望 | 方差 | 用途 |
|---|---|---|---|---|
伯努利大数定律 | 二项分布 | 相同 | 相同 | 估算概率 |
辛钦大数定律 | 独立同分布 | 相同 | 相同 | 估算期望 |
切比雪夫大数定律 | 独立 | 存在 | 存在有限 | 估算期望 |
中心极限定理
中心极限定理讨论：
对应的分布函数序列收敛于正态分布。 \begin{aligned} &\lim_{n\rightarrow\infty}P{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-E(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)}{\sqrt{D(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)}}\le x}=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi(x) \ &Y_n= \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-E(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)}{\sqrt{D(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1) \ &\sum\limits_{i=1}^{n}X_i=\sqrt{n}\sigma Y_n+n\mu \sim N(n\mu, n\sigma^2) \end{aligned}
德莫佛—拉普拉斯定理
\eta_n\sim B(n,p)
：
格列文科定理
上述定理表明，样本容量n足够大时，对所有x，F_n(x)与F(x)之差的绝对值都很小，这件事概率为1，这是==用样本推断整体的依据==。