概率论基础 - 21 - 分布之间的关系

不同概率分布的函数族之间边界是相交的，也就是不同分布在特定条件下可以相互转化，本文介绍相关内容。

伯努利分布和二项分布

1. 二项分布是伯努利分布的单次试验的特例，即单次伯努利试验；
2. 二项分布和伯努利分布的每次试验都只有两个可能的结果；
3. 二项分布每次试验都是互相独立的，每一次试验都可以看作一个伯努利分布。

泊松分布和二项分布

二项分布

泊松分布

1. 试验次数非常大或者趋近无穷，即 n → ∞ ；
2. 每次试验的成功概率相同且趋近零，即 p →0 ；
3. np =λ 是有限值。

证明

泊松分布可看成由二项分布的极限得到，记常数 λ=np 则有如下：

其中用到了一个常用极限：

使用了洛必达法则

​

也就是说，当二项分布中的试验次数 n 比较大，事件A在一次试验中发生的概率 p 比较小时，二项分布的一个事件发生次数的概率可以用泊松分布的概率来模拟。

正态分布和二项分布

二项分布：

正态分布：`$

$`

$$

\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e{\left{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right){2}\right}} \quad for: -\infty<x<\infty

$$

1. 试验次数非常大或者趋近无穷，即 n → ∞ ；
2. p 和 q 都不是无穷小。

这是 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 的内容，该定理是 林德贝格-勒维中心极限定理 的特例，证明方法可以参照 林德贝格-勒维中心极限定理 的证明过程。

泊松分布和正态分布

参考资料

• https://blog.csdn.net/qq_53399765/article/details/125215422
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/656718212
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/488077908
• https://blog.csdn.net/king11765/article/details/121144567

文章链接：

https://cloud.tencent.com/developer/article/2360337