积分放缩法

为为为什么

发布于 2023-11-18 15:54:15

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放缩法的基本原理是通过找到一个上界和一个下界来限定积分的范围，本文记录相关内容。

描述一

对于函数的某段单调区间上的积分计算，用分段的矩形面积近似积分结果，不同划分矩形的方式得到的结果与积分真实结果存在固定的大小关系。

以递增函数为例。

RHS

从 f(x) 向左绘制矩形区域

如此划分的矩形面积和大于积分结果：

\int_1^{n}f(x)dx \le \sum _{i=2}^nf(i)

LHS

从 f(x) 向右绘制矩形区域

如此划分的矩形面积小于积分结果

\int_1^{n}f(x)dx \ge \sum _{i=1}^{n-1}f(i)

得到在这种情况下：

\sum _{i=1}^{n-1}f(i) \le \int_1^{n}f(x)dx \le\sum _{i=2}^nf(i)

描述二

在函数的单调区区间上，函数值与矩形积分之间存在固定的大小关系

以递减函数为例。

LHS

上的积分小于等于矩形面积：

\int_n^{n+1}f(x) \le f(n)

RHS

上的积分大于等于矩形面积：

f(n) \le \int_{n-1}^{n}f(x)

因此有：

\int_n^{n+1}f(x) \le f(n)\le \int_{n-1}^{n}f(x)

参考资料

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原始发表：2023-11-12，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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