sklearn 逻辑回归Demo

小小程序员

发布于 2023-12-25 09:11:37

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发布于 2023-12-25 09:11:37

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逻辑回归案例

假设表示

基于上述情况，要使分类器的输出在[0,1]之间，可以采用假设表示的方法。设

h_θ (x)=g(θ^T x)

，其中

g(z)=\frac{1}{(1+e^{−z} )}

, 称为逻辑函数（Sigmoid function，又称为激活函数，生物学上的S型曲线）

h_θ (x)=\frac{1}{(1+e^{−θ^T X} )}

其两条渐近线分别为h(x)=0和h(x)=1

在分类条件下，最终的输出结果是：

h_θ (x)=P(y=1│x,θ)

其代表在给定x的条件下其y=1的概率

P(y=1│x,θ)+P(y=0│x,θ)=1

决策边界（ Decision boundary）

对假设函数设定阈值

h(x)=0.5

，当

h(x)≥0.5

时，输出结果y=1.

根据假设函数的性质，当

x≥0时，

h(x)≥0.5 用

θ^T x

替换x，则当

θ^T x≥0

时，

h(x)≥0.5，y=1

解出

θ^T x≥0

，其答案将会是一个在每一个

x_i

轴上都有的不等式函数。

这个不等式函数将整个空间分成了y=1 和 y=0的两个部分，称之为决策边界。

激活函数的代价函数

在线性回归中的代价函数：

J(θ)=\frac{1}{m}∑_{i=1}^m \frac{1}{2} (h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} )^2

令

Cost（hθ (x)，y）=\frac{1}{2}(h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} )^2

， Cost是一个非凹函数，有许多的局部最小值，不利于使用梯度下降法。对于分类算法，设置其代价函数为：

J(θ)=-\frac{1}{m}∑_{i=1}^m [y^{(i)}log(h_θ (x^{(i)}) )−(1-y^{(i)})*log(1-h_θ (x^{(i)}))]

对其化简：

Cost（h_θ (x),y）=−ylog(h_θ (x))−((1−y)log⁡(1−h_θ (x)))

检验：当

y=1

时，

−log⁡(h_θ (x))

当

y=0

时，

−log⁡(1−h_θ (x))

那么代价函数可以写成：

J(θ)=-\frac{1}{m}[∑_{i=1}^m y^{(i)} log⁡(h_θ(x^{(i)} ))+(1−y^{(i)}) log(1−h_θ (x^{(i)}))]

对于代价函数，采用梯度下降算法求θ的最小值：

θ_j≔θ_j−α\frac{∂J(θ)}{∂θ_j}

代入梯度：

θ_j≔θ_j−α∑_{i=1}^m(h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} ) x_j^i

sklearn 代码

导入库

##  基础函数库
import numpy as np 

## 导入画图库
import matplotlib.pyplot as plt

## 导入逻辑回归模型函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

模型训练

## 构造数据集
x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

## 调用逻辑回归模型
lr_clf = LogisticRegression()

## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 y=w0+w1*x1+w2*x2

模型参数查看

## 查看其对应模型的w
print('the weight of Logistic Regression:',lr_clf.coef_)

## 查看其对应模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',lr_clf.intercept_)

可视化构造的数据样本点

plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
plt.show()

模型预测

## 在训练集和测试集上分别利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)

print('The New point 1 predict class:\n',y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n',y_label_new2_predict)

## 由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)）,所以我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)

print('The New point 1 predict Probability of each class:\n',y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n',y_label_new2_predict_proba)