级数整理

无穷级数

(\sum_{i=1}^∞u_i=u_1+u_2+...+u_n+...)

无穷级数就是无限项数列的加和。相比于无限项，也有有限项的级数，就是无穷级数的前n项

(S_n=\sum_{i=1}^nu_i)

无穷级数如果最终结果为∞，那么我们就说该无穷级数为发散的；无穷级数如果最终结果为一个数A，那么我们就说该无穷级数为收敛的。它等价于

(\lim_{n->∞}Sn=A)

为收敛，反之发散。

几个特殊级数

• 等比级数

(\sum_{n=1}^∞aq^{n-1}) (a>0)

当公比的绝对值|q|<1时，该级数为收敛的，如

(1+{1\over 2}+{1\over 4}+{1\over 8}+...+{1\over 2^n}+...=2)

当|q|>1时，该级数为发散的，如

(1+2+4+8+...+2^n+...=∞)

• P级数

(\sum_{n=1}^∞{1\over n^P})

当P≤1时，为发散的

当P>1时，为收敛的

当P=1的时候，(\sum_{n=1}^∞{1\over n}=​∞)

这是两个非常重要的级数。

正项级数判敛法

正项级数有如下性质：

1. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和是有界数列；
2. 正项级数如果收敛收敛值是{(S_n)}的上确界；
3. 正项级数如果发散一定发散到正无穷;
4. 对于收敛的正项级数，任意调换求和顺序后得到的新级数也收敛，并且和不变；
5. 比较法

1、一般形式：若

(b_n≥a_n≥0)

则

1. (\sum_{n=1}^∞a_n)发散，那么(\sum_{n=1}^∞b_n)也发散
2. (\sum_{n=1}^∞b_n)收敛，那么(\sum_{n=1}^∞a_n)也收敛

示例1：(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n})

({(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}=({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n)为一个正项级数

该数列并不是一个等比数列，但是我们发现

(({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n≤({\sqrt{2}+1\over 3})^n)

由于(({\sqrt{2}+1\over 3})^n)是一个等比数列，其公比({\sqrt{2}+1\over 3}<1)为收敛的，故

(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n})为收敛的。

2、极限形式：

(\sum_{n=1}^∞a_n)与(\sum_{n=1}^∞b_n)均为正项级数

(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C>0)

则二者同敛散

证明：对于(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C)，我们知道对于任意ε>0，都存在一正整数N，使得n>N时有(|{a_n\over b_n}-C|<ε)，等价于

(-​ε<{a_n\over b_n}-C<ε)

(C-​ε<{a_n\over b_n}<C+ε)

((C-​ε)b_n<a_n<(C+ε)b_n)

由于C>0，我们可以让ε足够小，使得C-ε>0，因此

(b_n<{a_n\over C-ε})

根据比较法，如果(\sum_{n=1}^∞a_n)收敛，则(\sum_{n=1}^∞b_n)同样收敛；

又有

(a_n<(C+ε)b_n)

则如果(\sum_{n=1}^∞b_n)收敛，(\sum_{n=1}^∞a_n)同样收敛。

示例2：(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}})

由于({1\over \sqrt{n^3-n+1}}～{1\over \sqrt{n^3}}={1\over n^{3\over 2}})同阶无穷小(关于无穷小的内容可以参考高等数学整理 中的函数连续性)

则有(\lim_{n->∞}{n^{3\over 2}\over \sqrt{n^3-n+1}}=1)

由于(\sum_{n=1}^∞{1\over n^{3\over 2}})收敛，故原级数(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}})同样收敛。

示例3：(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n}))

因为(ln(1+{2\over n})～{2\over n})

由于(\sum_{n=2}^∞{2\over n})是发散的，故原级数(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n}))是发散的。