红黑树
什么是红黑树
红黑树依然是一棵二分搜索树，《算法导论》中的红黑树定义如下：
- 每个节点或者是红色的，或者是黑色的
- 根节点是黑色的
- 每一个叶子节点（最后的空节点）是黑色的
- 如果一个节点是红色的，那么他的孩子节点都是黑色的
- 从任意一个节点到叶子节点，经过的黑色节点是一样的
在学习红黑树之前，我们有必要先学习一下什么是2-3树，学习2-3树不仅对于理解红黑树有帮助，对于理解B类树，也是有巨大帮助的。我们常用到的磁盘存储、文件系统、数据库等相应的数据存储都是采用的B类树这样的数据结构。
什么是2-3树
2-3树依然满足二分搜索树的基本性质，但2-3树不是一种二叉树，2-3树有两种节点，节点可以存放一个元素或者两个元素；2-3树是一棵绝对平衡的树，2-3树对于任意一个节点的的左右子树的高度一定是相等的
2-3树的添加操作
2-3树的添加操作将新节点添加到空的位置，若添加一个比根节点小的元素，并且根节点的左子树为空，待添加的新元素会和根节点先融合，由二节点变成三节点，当此时再添加一个元素时，会发现根节点的左子树仍然为空，就还是会先和根节点向融合，但2-3树不能有四节点，最多只能有三节点，所以需要将这个四节点分裂成有三个二节点的绝对平衡二叉树，如图：
让我们再来看一下2-3树添加元素的过程：
再向2-3树中添加一些元素，找出规律：
通过如上的分析，不难知道，如果添加一个元素是添加到一个2-节点，会直接与之融合，如果是添加到一个3-节点，会暂时融合形成一个四节点，然后分裂成一个绝对平衡树。如下图所示：
红黑树与2-3树的等价性
我们在这里定义所有的红色节点都是向左倾斜的，红色节点代表与父亲节点相融合，由于我们可以通过2-3树画出一个棵红黑树：
由此可知，红黑树是保持“黑平衡”的二叉树，严格意义上 ，不是平衡二叉树，最大高度为2logn,并且从图中也可以看出，只有三节点左侧的元素才是红色的。红黑树和AVL树：由于红黑树的最大高度是2logn,所以在查找时，相比于AVL树会慢一些，而红黑树的添加和删除元素比AVL树更快一些，如果只是用于查询，AVL树的性能要更高一些。 向红黑树中添加一个新元素，类比于2-3树中添加一个新元素，就是或者添加进2-节点，形成3-节点；或者添加进3-节点，暂时形成一个4-节点，这样我们可以让我们的红黑树，永远添加红节点。由于我们在本文是定义的所有红色节点都是向左倾斜的，当我们新添加的红色节点在根节点的右侧时，我们需要先进行左旋转擦欧总，然后再进行染色操作，在我们左旋转的过程中并不保持红黑树的性质，如下图：
左旋转的代码实现：
// node x
// / \ 左旋转 / \
// T1 x ---------> node T3
// / \ / \
// T2 T3 T1 T2
private Node leftRotate(Node node){
Node x = node.right;
// 左旋转
node.right = x.left;
x.left = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}当我们向红黑树中的“3-节点”添加新元素，由于添加的新节点颜色都默认是红色的，红色节点表示是去和 父亲节点融合的，当4-节点分裂成3个2-节点时，新的根节点需要和父亲节点去融合，这意味着这个新的根节点需要变成红色节点。
颜色翻转的代码实现：
// 颜色翻转
private void flipColors(Node node){
node.color = RED;
node.left.color = BLACK;
node.right.color = BLACK;
}三个2-节点的自平衡，如图：
右旋转代码实现：
// node x
// / \ 右旋转 / \
// x T2 -------> y node
// / \ / \
// y T1 T1 T2
private Node rightRotate(Node node){
Node x = node.left;
// 右旋转
node.left = x.right;
x.right = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}三节点的另外一种情况：
像红黑树中添加节点，就分析到这里了，下面让我们来用代码实现一个红黑树和红黑树的添加操作：
public class RBTree<K extends Comparable<K>, V> {
private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public boolean color;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
color = RED;
}
}
private Node root;
private int size;
public RBTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
// 判断节点node的颜色
private boolean isRed(Node node){
if(node == null)
return BLACK;
return node.color;
}
// node x
// / \ 左旋转 / \
// T1 x ---------> node T3
// / \ / \
// T2 T3 T1 T2
private Node leftRotate(Node node){
Node x = node.right;
// 左旋转
node.right = x.left;
x.left = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// node x
// / \ 右旋转 / \
// x T2 -------> y node
// / \ / \
// y T1 T1 T2
private Node rightRotate(Node node){
Node x = node.left;
// 右旋转
node.left = x.right;
x.right = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// 颜色翻转
private void flipColors(Node node){
node.color = RED;
node.left.color = BLACK;
node.right.color = BLACK;
}
// 向红黑树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
root.color = BLACK; // 最终根节点为黑色节点
}
// 向以node为根的红黑树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后红黑树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value); // 默认插入红色节点
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
if (isRed(node.right) && !isRed(node.left))
node = leftRotate(node);
if (isRed(node.left) && isRed(node.left.left))
node = rightRotate(node);
if (isRed(node.left) && isRed(node.right))
flipColors(node);
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
return node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
return node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}最后，在这里做一个红黑树的总结： 对于完全随机的数据，普通的二分搜索树就很好用，缺点:极端情况会退化成链表（或者高度布不平衡）；对于查询较多的情况，AVL树很好用！红黑树牺牲了平衡性（2logn的高度），统计性能更优（综和增删改查所有的操作）。
腾讯云开发者
