【数据结构与算法】【约瑟夫问题】还在用递归？教你用链表秒杀约瑟夫

苏泽

发布于 2024-03-01 12:43:17

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发布于 2024-03-01 12:43:17

文章被收录于专栏：后端开发从入门到入魔

本文原本是对链表学习的记录笔记因为约瑟夫问题笔记经典就拿来做大题材了，要是没学过链表或者链表还不熟悉的伙伴可以慢慢读，要是以及学过链表了，纯粹来看全新的解题思路的可以用目录传送门往下跳

那么开始吧

引言：为什么学习链表是数据结构与算法的必备知识

链表是数据结构与算法中最基本、最常用的数据结构之一。它在实际应用中具有重要性和优势，不仅在面试中扮演着重要角色，而且在竞赛中也占据相当比重。根据广泛的面试经验和回馈，链表问题是面试中常见的考点之一，并且经常出现在技术公司的编程面试中。链表问题可以考察面试者对数据结构的理解、编码能力以及解决复杂问题的能力。掌握链表的基本操作和常见问题解法，可以帮助面试者在面试过程中更好地展现自己的能力。其次，我们来分析链表在面试题中的比重。虽然具体比例会因面试的难度和类型而有所变化，但链表问题通常占据了相当大的比重。根据统计数据，链表问题在技术公司的编程面试中占据了约20%至30%的问题比例。这意味着，如果一个面试者没有对链表问题进行足够的准备，可能会错失相当多的机会。此外，在竞赛中，链表问题同样具有一定的比重。在算法竞赛中，链表常常被用作构建和实现其他复杂数据结构的基础，如栈、队列和图等。因此，掌握链表的知识和技巧，对于在竞赛中迅速解决问题、提高算法效率至关重要。

而本文从基础概念出发，又引入到实战面试题当中，希望能从中带给读者一些帮助

话不多说以下是正文可以按照需要跳到自己需要的部分

单链表：定义、特点与基本操作

解释单链表的概念、结构和节点关系

单链表是一种由节点组成的数据结构，每个节点包含一个值和指向下一个节点的指针。这种结构使得单链表具有高效的插入和删除操作，但查找操作相对耗时。

单链表的抽象形态表现

在定义单链表的抽象形态时，我们可以通过表格框来展现其节点形态：

struct Node {
    int data;
    Node* next;
};

这里的data表示节点的数据，next表示指向下一个节点的指针。

示例链表抽象形态表现

以下是一个示例链表的抽象形态表现，我们用表格框展示链表的结构：

+---------+    +---------+    +---------+
|  data   |    |  data   |    |  data   |
+---------+    +---------+    +---------+
|  next   | -> |  next   | -> |  nullptr|
+---------+    +---------+    +---------+
   Node 1       Node 2       Node 3

单链表的基本操作

插入操作

在头部插入节点

void insertAtHead(Node*& head, int value) {
    Node* newNode = new Node(value);
    newNode->next = head;
    head = newNode;
}

插入节点后的抽象形态表现：

+---------+    +---------+    +---------+    +---------+
|  value  |    |  data   |    |  data   |    |  data   |
+---------+    +---------+    +---------+    +---------+
|  next   | -> |  next   | -> |  next   | -> |  nullptr|
+---------+    +---------+    +---------+    +---------+
  New Node     Node 1       Node 2       Node 3

在尾部插入节点

void insertAtTail(Node*& head, int value) {
    Node* newNode = new Node(value);
    if (head == nullptr) {
        head = newNode;
    } else {
        Node* temp = head;
        while (temp->next != nullptr) {
            temp = temp->next;
        }
        temp->next = newNode;
    }
}

删除操作

删除头节点

void deleteAtHead(Node*& head) {
    if (head == nullptr) {
        return;
    }
    Node* temp = head;
    head = head->next;
    delete temp;
}

删除尾节点

void deleteAtTail(Node*& head) {
    if (head == nullptr) {
        return;
    }
    if (head->next == nullptr) {
        delete head;
        head = nullptr;
        return;
    }
    Node* temp = head;
    while (temp->next->next != nullptr) {
        temp = temp->next;
    }
    delete temp->next;
    temp->next = nullptr;
}

查找操作

遍历查找

Node* search(Node* head, int value) {
    Node* temp = head;
    while (temp != nullptr) {
        if (temp->data == value) {
            return temp;
        }
        temp = temp->next;
    }
    return nullptr;
}

递归查找

Node* searchRecursive(Node* head, int value) {
    if (head == nullptr) {
        return nullptr;
    }
    if (head->data == value) {
        return head;
    }
    return searchRecursive(head->next, value);
}

单链表的案例分析

LCR 078. 合并 K 个升序链表

给定一个链表数组，每个链表都已经按升序排列。

请将所有链表合并到一个升序链表中，返回合并后的链表。

示例 1：

输入：lists = [[1,4,5],[1,3,4],[2,6]]
输出：[1,1,2,3,4,4,5,6]
解释：链表数组如下：
[
  1->4->5,
  1->3->4,
  2->6
]
将它们合并到一个有序链表中得到。
1->1->2->3->4->4->5->6

示例 2：

输入：lists = []
输出：[]

示例 3：

输入：lists = [[]]
输出：[]

提示：

k == lists.length
0 <= k <= 10^4
0 <= lists[i].length <= 500
-10^4 <= lists[i][j] <= 10^4
lists[i] 按升序排列
lists[i].length 的总和不超过 10^4

题目分析：题目要求合并K个升序链表，其中每个链表可能包含0个或多个节点。我们需要以升序顺序返回合并后的链表。

解题思路：为了解决这个问题，我们可以使用优先队列来维护所有的头节点，并依次弹出最小的头节点，并将其对应的链表的下一个节点插入到队列中。这个过程可以看作是归并排序的一部分，因为它类似于归并排序中合并两个有序数组的操作。这种方法的时间复杂度为O(Nlogk)，其中k是链表数，N是所有链表中的节点数。

代码解读：

定义一个优先队列，将所有的头节点添加到队列中。
定义一个哨兵节点，方便处理边界情况。
不断弹出最小的头节点，并将其对应的链表的下一个节点添加到队列中。
返回哨兵节点的下一个节点作为合并后的链表头。

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     struct ListNode *next;
 * };
 */

// 定义一个链表节点比较函数，用于优先队列的排序
int cmp(const void* a, const void* b) {
    return (*((struct ListNode**)a))->val - (*((struct ListNode**)b))->val;
}

struct ListNode* mergeKLists(struct ListNode** lists, int listsSize){
    // 创建一个优先队列
    struct ListNode** pq = (struct ListNode**)malloc(sizeof(struct ListNode*) * listsSize);
    int size = 0;

    // 将所有的头节点添加到队列中
    for (int i = 0; i < listsSize; i++) {
        if (lists[i]) {
            pq[size++] = lists[i];
        }
    }

    // 使用自定义比较函数对队列中的元素进行排序
    qsort(pq, size, sizeof(struct ListNode*), cmp);

    // 定义一个哨兵节点，方便处理边界情况
    struct ListNode* dummy = (struct ListNode*)malloc(sizeof(struct ListNode));
    dummy->val = -1;
    dummy->next = NULL;
    struct ListNode* cur = dummy;

    // 不断弹出最小的头节点，并将其对应的链表的下一个节点插入到队列中
    while (size > 0) {
        struct ListNode* node = pq[0];
        cur->next = node;
        cur = cur->next;
        if (node->next) {
            pq[0] = node->next;
        } else {
            pq[0] = pq[--size];
        }
        if (size > 0) {
            // 对队列中的元素重新排序
            int i = 0, j = 2 * i + 1;
            while (j < size) {
                if (j + 1 < size && pq[j + 1]->val < pq[j]->val) {
                    j++;
                }
                if (pq[j]->val < pq[i]->val) {
                    struct ListNode* tmp = pq[i];
                    pq[i] = pq[j];
                    pq[j] = tmp;
                    i = j;
                    j = 2 * i + 1;
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
    }

    return dummy->next;
}

. 双链表：定义、特点与基本操作

1.1 介绍双链表的定义和结构

在计算机科学中，双链表（Doubly Linked List）是一种常见的数据结构，它由一系列节点组成，每个节点包含两个指针，分别指向前一个节点和后一个节点，形成一个双向链表。与单链表相比，双链表可以更高效地进行向前和向后遍历，但也因为需要额外的指针而占用更多的内存空间。

下面是一个双链表节点的抽象形态表现：

节点结构
数据
前驱指针
后继指针

在这个表格框中，我们可以看到双链表节点的三个属性：数据、前驱指针和后继指针。数据存储了节点所需的信息，而前驱指针和后继指针则分别指向了前一个节点和后一个节点，使得节点之间能够互相连接。

1.2 学习双链表的基本操作：插入、删除、查找等

接下来，让我们一起学习双链表的基本操作，包括插入、删除和查找。

插入操作

在双链表中，插入操作可用于在任意位置插入一个新节点。下面是一个用 C 语言实现的双链表插入操作的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct Node {
    int data;
    struct Node* prev;
    struct Node* next;
};

void insert(struct Node** head, int data) {
    struct Node* new_node = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));
    new_node->data = data;
    new_node->prev = NULL;
    new_node->next = NULL;

    if (*head == NULL) {
        *head = new_node;
    } else {
        struct Node* current = *head;
        while (current->next != NULL) {
            current = current->next;
        }
        current->next = new_node;
        new_node->prev = current;
    }
}

在上述代码中，我们定义了一个结构体 Node，表示双链表的节点。insert 函数用于向双链表中插入一个新节点。如果双链表为空，则将新节点作为头节点；否则，遍历双链表至末尾，将新节点插入到最后一个节点之后。

删除操作

删除操作允许我们从双链表中移除指定节点。下面是一个用 C 语言实现的双链表删除操作的示例代码：

void delete(struct Node** head, int data) {
    struct Node* current = *head;
    while (current != NULL) {
        if (current->data == data) {
            if (current->prev != NULL) {
                current->prev->next = current->next;
            }
            if (current->next != NULL) {
                current->next->prev = current->prev;
            }
            if (current == *head) {
                *head = current->next;
            }
            free(current);
            return;
        }
        current = current->next;
    }
}

在上述代码中，我们定义了一个 delete 函数，用于从双链表中删除包含指定数据的节点。通过遍历双链表，我们找到目标节点后，更新前驱和后继节点的指针，并正确处理头节点的情况。最后，释放目标节点的内存。

查找操作

查找操作用于确定双链表中是否存在包含特定数据的节点。下面是一个用 C 语言实现的双链表查找操作的示例代码：

int search(struct Node* head, int data) {
    struct Node* current = head;
    while (current != NULL) {
        if (current->data == data) {
            return 1;
        }
        current = current->next;
    }
    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了一个 search 函数，用于在双链表中搜索包含特定数据的节点。通过遍历双链表，我们可以确定是否存在满足条件的节点。

【链表应用】约瑟夫问题

上面铺垫了那么多其实也只是为了解决问题而做的嘛那么现在我们来面对一个实际的问题约瑟夫问题（典中典了属于是）

约瑟夫问题（Josephus Problem）是一个经典的数学问题，它的形式是：n个人围成一圈，从第k个人开始报数，数到m的那个人出列，然后从下一个人开始重新报数，直到最后剩下一个人。这个问题可以用链表来解决。我们可以使用循环链表来模拟这个过程。具体地，我们先创建一个有n个节点的循环链表，每个节点代表一个人。然后，我们从第k个人开始，遍历链表并数m个人，将第m个人删除并输出，然后从下一个人开始重新报数，直到只剩下一个人为止。

下面是一个使用单向循环链表解决约瑟夫问题的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct Node {
    int data;
    struct Node* next;
};

void create_circle(struct Node** head, int n) {
    struct Node* current = *head;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        struct Node* new_node = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));
        new_node->data = i;
        new_node->next = NULL;
        if (*head == NULL) {
            *head = new_node;
            current = new_node;
        } else {
            current->next = new_node;
            current = new_node;
        }
    }
    current->next = *head;
}

void josephus(struct Node** head, int k, int m) {
    struct Node* current = *head;
    for (int i = 1; i < k; i++) {
        current = current->next;
    }
    while (current->next != current) {
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            current = current->next;
        }
        struct Node* temp = current->next;
        printf("%d ", temp->data);
        current->next = temp->next;
        free(temp);
    }
    printf("%d\n", current->data);
    *head = NULL;
}

int main() {
    struct Node* head = NULL;
    int n, k, m;
    scanf("%d %d %d", &n, &k, &m);
    create_circle(&head, n);
    josephus(&head, k, m);
    return 0;
}

在上述代码中，我们首先使用 create_circle 函数创建了一个有n个节点的循环链表，每个节点的数据为从1到n的整数。接着，我们使用 josephus 函数解决约瑟夫问题。该函数从第k个人开始遍历链表并数m个人，删除第m个人并输出，直到只剩下一个人为止。

运行程序时，输入n、k和m的值，即可得到最后留下的人的编号。

当然了！除了使用链表来解决约瑟夫问题，还有一种更巧妙的思路可以用数学方法直接求解。

假设n个人围成一圈，从第k个人开始报数，数到m的那个人出列。我们可以用一个递推公式来求解最后留下的人的编号。

首先，我们定义一个函数f(n, m)表示在n个人中，每次数m个人后剩下的人的编号。根据题意，我们知道当只有一个人时，即n=1时，这个人的编号为1，所以我们有基本情况：f(1, m) = 1。

接下来，我们考虑n个人的情况。当第一个人被数到并出列后，剩下的人变成了n-1个人，同时原来的第m+1个人变成了新的第一个人。因此，我们可以得到递推关系式：

f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n

其中，%表示取模运算。通过这个递推关系式，我们可以从n=1开始递推，直到n等于给定的人数。

下面是使用递推公式解决约瑟夫问题的示例代码：

#include <stdio.h>

int josephus(int n, int k, int m) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else {
        return (josephus(n-1, k, m) + m) % n;
    }
}

int main() {
    int n, k, m;
    printf("请输入人数n：");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入起始位置k：");
    scanf("%d", &k);
    printf("请输入报数m：");
    scanf("%d", &m);

    int last_person = josephus(n, k, m);
    printf("最后留下的人的编号为：%d\n", last_person);

    return 0;
}

运行程序时，输入n、k和m的值，即可得到最后留下的人的编号。

通过使用递推公式，我们可以直接求解约瑟夫问题，避免了构建链表和模拟报数的过程。这种方法更加简洁、高效，并且易于理解和实现。

面试官一看，眉毛邹了起来，递推可以是可以但是这资源利用....嘶小伙子不懂得勤俭持家呀，万一栈溢出了怎么办？他正想微笑告诉你，小伙子回去等通知吧

你说别急因为我还有又简单又能节约资源的办法 --环形链表来解决这个问题

于是就有了下文

使用环形链表可以很方便地解决约瑟夫问题。我们可以按照如下步骤进行：

创建一个含有n个结点的环形链表，表示围成一圈的n个人。
从第k个人开始报数，每次数到m的那个人出列，直到只剩下一个人为止。
得到最后留下的人的编号。

下面是使用C语言编写的基于环形链表的解决约瑟夫问题的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node {
    int data;
    struct node *next;
} Node;

Node *createList(int n) {
    Node *head = NULL, *prev = NULL;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Node *new_node = (Node *)malloc(sizeof(Node));
        new_node->data = i;
        if (prev == NULL) {
            head = new_node;
        } else {
            prev->next = new_node;
        }
        prev = new_node;
    }
    prev->next = head;  // 链接首尾结点，形成环形链表
    return head;
}

int josephus(Node *head, int k, int m) {
    Node *prev = NULL, *curr = head;
    for (int i = 1; i < k; i++) {
        prev = curr;
        curr = curr->next;
    }
    while (curr->next != curr) {  // 只剩下一个人时退出循环
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            prev = curr;
            curr = curr->next;
        }
        prev->next = curr->next;  // 删除当前结点
        Node *temp = curr;
        curr = curr->next;
        free(temp);
    }
    return curr->data;  // 返回最后留下的结点的编号
}

int main() {
    int n, k, m;
    printf("请输入人数n：");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入起始位置k：");
    scanf("%d", &k);
    printf("请输入报数m：");
    scanf("%d", &m);

    Node *head = createList(n);
    int last_person = josephus(head, k, m);
    printf("最后留下的人的编号为：%d\n", last_person);

    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了一个名为 createList 的函数，用于创建含有n个结点的环形链表；定义了一个名为 josephus 的函数，用于解决约瑟夫问题。在 main 函数中，我们首先输入人数n、起始位置k和报数m的值，然后调用 createList 函数创建环形链表，并调用 josephus 函数求解并输出最后留下的人的编号。

通过使用环形链表来解决约瑟夫问题，我们避免了构建数组和模拟报数的过程，使得代码更加简洁、高效，并且易于理解和实现。

面试官说还不错小伙子第一关算你过了

当然了未完待续.....

下篇文章我将使用腾讯和阿里的面试题讲解链表知识点敬请关注哈有兴趣的小伙伴可以关注我的专栏里面全是由浅入深的讲解算法的文章保障让每个小白也能轻易学会http://t.csdnimg.cn/wlBwt

那么下期再见了博主去陪家人吃饭啦新年快乐各位！

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原始发表：2024-02-15，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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