软考高级架构师：最小生成树和克鲁斯卡尔算法、普利姆算法

一、AI 讲解

图论是研究图的数学理论和方法，其中图是由顶点集合及连接这些顶点的边集合组成的数学结构。图论在计算机科学、网络规划、生物信息学等众多领域都有重要应用。最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中一个经典问题，指在一个加权连通图中寻找一棵权值最小的生成树。克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法是解决最小生成树问题的两种著名算法。

最小生成树（MST）

最小生成树是指在一个加权连通图中寻找一棵包含图中所有顶点且总边权值最小的生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

克鲁斯卡尔算法是基于贪心策略的。它的基本思想是将图中的边按照权重从小到大排序，然后按顺序选取边构造最小生成树，但在选择时需要确保不形成环路。

1. 将图中的所有边按权重从小到大排序。
2. 初始化只包含顶点的森林（每个顶点自成一个连通分量）。
3. 按排序后的边的顺序选择边，如果这条边连接的两个顶点属于不同的连通分量，则添加这条边，并合并这两个连通分量。
4. 重复步骤3，直到所有顶点都在同一个连通分量中。

普利姆（Prim）算法

普利姆算法也是基于贪心策略，但其构造最小生成树的方式与克鲁斯卡尔算法不同。普利姆算法每步扩展生成树，直到包含所有顶点。

1. 从图中的某个顶点开始，将该顶点加入生成树中。
2. 在所有连接生成树与图中其他未加入生成树的顶点的边中，选择一条权重最小的边，并将这条边及其连接的未加入生成树的顶点加入生成树。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都加入生成树。

下面通过一个表格对比这两种算法：

这两种算法各有优劣，适用于不同的场景和需求。

二、AI 出题

（1）题目

1. 最小生成树的定义是什么？ A. 一个图中所有顶点构成的环 B. 一个图中边权值之和最小的连通子图 C. 一个图中包含所有顶点且总边权值最大的生成树 D. 一个图中任意两点间最短路径构成的集合
2. 克鲁斯卡尔算法在构造最小生成树的过程中主要采用了什么策略？ A. 深度优先搜索 B. 广度优先搜索 C. 贪心策略 D. 动态规划
3. 普利姆算法在选择下一条加入生成树的边时，依据的是什么？ A. 边的长度，不考虑是否形成环 B. 连接生成树和非生成树顶点的最小边 C. 最短的边，不论其连接的顶点 D. 最长的边，以增加生成树的覆盖范围
4. 在使用克鲁斯卡尔算法时，为了检查加入的边是否会形成环，通常使用哪种数据结构？ A. 数组 B. 栈 C. 并查集 D. 队列
5. 普利姆算法的时间复杂度是多少？ A. O(V^2) B. O(ElogV) C. O(ElogE) D. O(V+E)
6. 在构造最小生成树的过程中，如果图中有 N 个顶点，最小生成树会包含多少条边？ A. N B. N-1 C. N+1 D. N/2
7. 如果一个加权连通图的所有边权重都不相同，那么这个图的最小生成树是唯一的吗？ A. 是 B. 否
8. 克鲁斯卡尔算法和普利姆算法哪一个更适合处理稠密图？ A. 克鲁斯卡尔算

法 B. 普利姆算法

1. 在使用普利姆算法时，初始时生成树包含多少个顶点？ A. 0 B. 1 C. 图中所有顶点的数量 D. 图中顶点数量的一半
2. 下列哪个场景最适合使用最小生成树算法？ A. 寻找图中最短路径 B. 图的全连通性检验 C. 网络设计最小成本连线 D. 寻找图中的强连通分量

（2）答案和解析

1. 答案：B。最小生成树是指一个图中包含所有顶点且边权值之和最小的连通子图。
2. 答案：C。克鲁斯卡尔算法采用贪心策略，按边的权重从小到大排序后选择，以此构造最小生成树。
3. 答案：B。普利姆算法在每一步选择连接生成树和非生成树顶点的最小边。
4. 答案：C。在克鲁斯卡尔算法中，通常使用并查集数据结构来检查加入的边是否会形成环。
5. 答案：B。普利姆算法的时间复杂度是O(ElogV)，其中E是边的数量，V是顶点的数量。
6. 答案：B。如果图中有N个顶点，最小生成树会包含N-1条边。
7. 答案：A。如果所有边权重都不相同，那么最小生成树是唯一的。
8. 答案：B。普利姆算法更适合处理稠密图，因为其时间复杂度与边的数量有关。
9. 答案：B。在使用普利姆算法时，初始时生成树包含1个顶点。
10. 答案：C。最小生成树算法适合用于网络设计的最小成本连线场景。

三、真题

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