【海贼王的数据航海】时间复杂度 | 空间复杂度
1 -> 算法效率
1.1 -> 如何衡量一个算法的好坏？
对于以下斐波那契数列：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
using namespace std;
long long fib(int N)
{
if (N < 3)
return 1;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
int main()
{
return 0;
}用递归实现斐波那契数列，看上去代码十分简洁，但简洁一定就是好算法吗？如何衡量一个算法的好坏？
1.2 -> 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机存储容量很小。所以对于空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要特别关注一个算法的空间复杂度。
2 -> 时间复杂度
2.1 -> 时间复杂度的概念
定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上来讲，是不能算出来的，只有把程序放在机器上跑起来才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？固然可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方法。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
using namespace std;
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
for (int j = 0; j < N; ++j)
++count;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
++count;
int M = 10;
while (M--)
++count;
cout << count << endl;
}
int main()
{
return 0;
}Func1执行的基本操作数：
-> N = 10 F(N) = 130 -> N = 100 F(N) = 10210 -> N = 1000 F(N) = 1002010
实际我们在计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，只需要大概执行次数，所以我们使用大O的渐进表示法。
2.2 -> 大O的渐进表示法
大O符号(Big O notation)：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
- 在常数1取代运行时间中的所有加法常数；
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；
- 如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法后，Func1的时间复杂度为：
-> N = 10 F(N) = 100 -> N = 100 F(N) = 10000 -> N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
例如：在一个长度为N的数组中搜索一个数据x
- 最好情况：1次找到
- 平均情况：N / 2次找到
- 最坏情况：N次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中的搜索数据时间复杂度为：
2.3 -> 常见时间复杂度计算
实例1：
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
++count;
int M = 10;
while (M--)
++count;
cout << count << endl;
}实例2：
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
++count;
for (int k = 0; k < N; ++k)
++count;
cout << count << endl;
}实例3：
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
++count;
cout << count << endl;
}实例4：
// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character);实例5：
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例6：
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}实例7：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}实例8：
// 计算斐波那契递归fib的时间复杂度？
long long fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}答案及分析：
1. 实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N) 2. 实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M) 3. 实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1) 4. 实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N) 5. 实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2) 6. 实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。 7. 实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。 8. 实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。
3 -> 空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少byte的空间，因为意义不大，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本与时间复杂度类似，也是使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显式申请的额外空间来确定。
实例1：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例2：
// 计算fib的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* fib(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* arr = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
arr[0] = 0;
arr[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
return arr;
}实例3：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (N == 0)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}答案及分析：
1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1) 2. 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N) 3. 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
4 -> 常见复杂度对比
一般算法的常见复杂度：
5201314 | O(1) | 常数阶 |
|---|---|---|
3n + 4 | O(n) | 线性阶 |
3n ^ 2 + 4n + 5 | O(n ^ 2) | 平方阶 |
3log(2)n + 4 | O(logn) | 对数阶 |
2n + 3nlog(2)n + 4 | O(nlogn) | nlogn阶 |
n ^ 3 + n ^ 2 + 3n + 4 | O(n ^ 3) | 立方阶 |
2 ^ n | O(2 ^ n) | 指数阶 |
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