应变能和余能

应变能密度

对于一个理想弹性体,外力做的功将全部转变为物体所储存的应变能。随着变形的消失,它又以功的形式放出。这种应变能是由于变形而且仅由于变形而产生。

▲图1

如图1a所示的轴向拉伸杆件,拉力与伸长之间的关系如图1b所示。横坐标与曲线之间的面积代表拉力所做的功。在加载过程中,可以忽略其他因素，根据能量守恒定律,此功在数值上等于物体变形所储存的应变能。

图1c为此杆对应的应力-应变曲线,其横坐标与曲线间的面积代表单位体积的应变能,又称为应变能密度,以表示。因此可知,在单向受力状态,应变能密度为

同理，在复杂受力状态下其应变能密度定义为

根据应变能密度的定义,可以得到应力-应变关系的新的表达式,即

此式适用于线性和非线性问题.

弹性体内的应变能为

余能密度

图1b中,纵坐标与曲线之间的面积,称为余能。同理,图1c中纵坐标与曲线之间的面积为单位体积的余能,又称为余能密度。因此

在复杂受力状态时，其余能密度为

根据余应变能密度的定义,同样可得到如下的应力-应变关系,即

此式同样适用于线性和非线性问题.

弹性体的余应变能(Complementary Strain Energy)是余应变能密度的体积积分