【初阶数据结构】算法效率大揭秘 | 时间与空间复杂度的深度剖析

本篇将介绍影响算法效率的两个因素时间复杂度与空间复杂度，随着计算机的发展，空间复杂度的问题得到解决，本篇主要讲述时间复杂度与大O渐进表示法。

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一、算法效率

如下斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但是简洁一定好的吗？单纯通过代码的长度去衡量算法效率是不准确的。

long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
    return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

1.1 算法的复杂度

算法是编写成可执行程序后，运行时需要消耗时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度去考量，也是我们常说的时间复杂度和空间复杂度。

• 时间复杂度:衡量算法的运行快慢
• 空间复杂度:衡量算法运行所需要的额外空间

二、时间复杂度与空间复杂度

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度是很在乎，但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以如今不需要再特别关注一个算法的空间复杂度

2.1 时间复杂度

2.1.1 时间复杂度的概念

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，他定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所消耗的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了算法的时间复杂度。通过例子更好地说明。

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
    
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
    
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
int main()
{
    int N = 0;
    scanf("%d",&N);
	Func1 (N);
	return 0;
}

Func执行的基本操作次数：F（N） = N^2^+2 * N + 10;

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 100201

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为O(N^2^)

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) ，由于大部分算法得到复杂度为O(log~2~^N^)，但是这个下标2很难书写出来，对此将O(log^N^) 默认为O(log~2~^N^)表示

2.3 空间复杂度

空间复杂度是个数学表达式，是对于算法在运行过程中临时占用存储空间的量度。(使用常数个额外空间的话空间复杂度为O(1))

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

练习:

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
实例递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

三、常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度

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以上就是本篇文章的所有内容，在此感谢大家的观看！这里是店小二初阶数据结构笔记，希望对你在学习初阶数据结构中有所帮助！