2024重生之回溯数据结构与算法系列学习【无论是王道考研人还真爱粉都能包会的；不然别给我家鸽鸽丢脸好嘛？】

王道考研系列之数据结构与算法学习

第一章 数据结构绪论 

1.1 数据结构的基本概念

1. 数据：数据是信息的载体，符号的集合、所有能输入到计算机中并能被计算机程序处理的符号的集合，数据是计算机程序加工的原料。
2. 数据元素：数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成。
3. 数据项：构成数据元素的不可分割的最小单位。

1. 数据对象：数据对象是具有相同性值的数据元素的集合，是数据的一个子集。
2. 数据结构：数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

 举例说明

1. 学校里的好多类型的表：数据
2. 单独的一张成绩单表：数据对象
3. 成绩单中每一行有姓名、课程、班级、成绩：数据元素
4. 成绩单中每一行的每一个表格姓名等都是一个个的数据项

 1.2 数据结构的三要素

1.2.1. 数据的逻辑结构

逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。

逻辑结构包括：

1. 集合结构：结构中的数据元素之间除“同属一个集合”外，别无其它关系（例如：一群羊）。
2. 线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系，除了第一个元素，所有元素都有唯一前驱；除了最后一个元素，所有元素都有唯一后继（例如：排队取号）。
3. 树形结构：结构中数据元素之间存在一对多的关系（例如：思维导图）。
4. 图状结构：数据元素之间是多对多的关系（例如：道路信息）。

1.2.2. 数据的存储结构（物理结构）

如何用计算机表示数据元素的逻关系?

存储结构是指数据结构在计算机中的表示（又称映像），也称物理结构。

存储结构包括：

1. 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。
2. 链式存储：逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
3. 索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表，索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是（关键字，地址）。
4. 散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希（Hash）存储。

1.2.3. 数据的运算

• 数据上的运算包括运算的定义和实现。
• 运算的定义是针对逻辑结构指出运算的功能。
• 运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

 针对于某种逻辑结构，结合实际需求，定义基本运算。 例如:逻辑结构->线性结构

基本运算:
1.查找第i个数据元素
2.在第i个位置插入新的数据元素
3.删除第i个位置的数据元素......

1.2.4. 数据类型和抽线数据类型

数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。例如：定义int整形，我们就可以把他们加减乘除等操作。

1. 原子类型。其值不可再分的数据类型。如bool 和int 类型。
2. 结构类型。其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型（例如：结构体）。

抽象数据类型（Abstract Data Type，ADT）是抽象数据组织及与之相关的操作。ADT 用数学化的语言定义数据的逻辑结构、定义运算。与具体的实现无关。

在探讨数据结构时我们需要理解几点：

1. 定义逻辑结构(数据元素之间的关系)
2. 定义数据的运算(针对现实需求应该对这种逻辑结构进行什么样的运算)
3. 确定某种存储结构，实现数据结构，并实现一些对数据结构的基本运算

1.3 算法的基本概念

 算法简介

程序 = 数据结构+算法 数据结构：如何用数据正确地描述现实世界的问题，并存入计算机。 算法：如何高效地处理这些数据，以解决实际问题

算法(Algorithm)是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性：

举例说明：

我们可以类比：y = f（x）函数，其中x就是输出，y就是输出，这个函数就是算法。

 优质的算法应该达到的目标：

1.4 算法的时间复杂度

1. 顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略。
2. 只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与 n 的关系即可。
3. 如果有多层嵌套循环只需关注最深层循环循环了几次。

• 事前预估算法时间开销T(n)与问题规模 n 的关系 (T 表示“time“）

• 一般情况下我们只看一个算法的最坏时间复杂度和平均时间复杂度
• 如何计算 ：找到一个基本操作（最深层循环）

1.5 算法的空间复杂度

• 开一个与问题规模n有关的一维数组

函数递归调用带来的内存开销

• 空间复杂度 与 递归调用的深度 有关
• 指算法消耗的存储空间(即算法除本身所需存储外的辅助空间)
• 算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。 记为S(n)=O(g(n))

第一章归纳总结：

1. 循环中变量参与循环条件的判断

思路：找出基本运算执行次数

x

与问题规模

n

的关系，解得

x = f(n)

，

f(n)

最高幂次为

k

，则算法时间复杂度为

O(n^k)

。

1.    int i = 1;                              2.    int y = 5;                 
      while(i <= n)                                 while((y+1)*(y+1)<n)
          i = i * 2;                                    y = y + 1;

例1：设基本运算

i = i * 2

执行次数为

t

，则

2^t \le n

，解得

t \le \log_2n

，则

T(n) = O(\log_2n)

例2：设基本运算

y = y + 1

执行次数为

t

，则

t = y - 5

 （此处的y是指最终y的值，由于初始时y=5，所以最终y的值减去5才是基本运算的执行次数）。那么

(t+5+1)*(t+5+1) < n

，

化简可得

t < \sqrt {n} - 6

，则

T(n) = O(\sqrt{n})

2.循环中变量与循环条件无关

思路：数学归纳法 或 直接累计循环次数。（如1.2.3中的16）

🌷递归：公式递推          

T(n) = 1 + T(n - 1) = \dots = n - 1 + T(1)

，即

T(n) = O(n)

🌷非递归：直接累计次数

课后习题精选

一、单选

01

可以用（）定义一个完整的数据结构。

A. 数据元素        B. 数据对象        C. 数据关系        D. 抽象数据类型

03

以下属于逻辑结构的是（）。

A. 顺序表        B. 哈希表        C. 有序表        D. 单链表

二、应用

01

对于两种不同的数据结构，逻辑结构或物理结构一定不相同吗？

02

试举一例，说明对相同的逻辑结构，同一种运算在不同的存储方式下实现时，其运算效率不同。

1.2.3 习题

一、单选

03

若某算法的空间复杂度为O(1)，则表示该算法（）。

A. 不需要任何辅助空间        B. 所需辅助空间大小与问题规模n无关

C. 不需要任何空间               D. 所需空间大小与问题规模n无关

16

下列程序段的时间复杂度是（）。

int sum = 0;
for(int i = 1; i < n; i *= 2)
    for(int j = 0; j < i; ++j)
        sum++;
A. O(logn)        B. O(n)        C. O(nlogn)        D. O(n^2)

1.1.3 习题答案及解析

一、单选

01

✅答案：D. 抽象数据类型

💡解析：

数据结构三要素：逻辑结构、存储结构、数据的运算。

数据结构是相互之间具有一种 或 多种特定关系的数据元素的集合。

A. 数据元素：数据的基本单位

B. 数据对象：具有相同性质的数据元素的集合

C. 数据关系：即结构（数据元素相互之间的关系）

D. 抽象数据类型：一个数学模型 及 定义在该模型上的一组操作

抽象数据类型（ADT）描述了数据的逻辑结构和抽象运算，通常用（数据对象，数据关系，基本操作集）这样的三元组来表示，从而可构成完整的数据结构定义。

03

✅答案：C. 有序表

💡解析：

顺序表、链表属于一般线性表；线性表、有序表是逻辑结构；顺序表，链表是存储结构

A. 顺序表是线性表的顺序存储、D. 单链表是线性表的链式存储

B. 哈希表（散列表）是基于哈希函数将数据映射到索引，使得增、删、查具有平均O(1)复杂度。

哈希表本质上是数组加链表，不属于线性结构。

顺序表、哈希表、单链表是三种不同的数据结构，既描述逻辑结构，又描述存储结构和数据运算。

对于C. 有序表是指关键字有序的线性表，仅说明了数据元素之间的逻辑关系。

二、应用

01

✅答案：

数据结构三要素：逻辑结构、存储结构（物理结构）、数据的运算。

当数据结构不同时，也有可能是数据的运算不同。

例如，对于二叉树 和 二叉排序树，二叉排序树可以采用二叉树的逻辑表示和存储方式，虽然它们均有建立树、查找结点、插入结点、删除结点等操作，但是实际的定义是不同的，二叉树平均复杂度为O(n)，而二叉排序树的平均时间复杂度为O(logn)。

二叉排序树讲解

02

✅答案：

例如，线性表可以采用顺序存储和链式存储。

在顺序存储下，线性表插入、删除操作的时间复杂度为O(n)；

在链式存储下，线性表插入、删除操作的时间复杂度为O(1)。

1.2.3 习题答案及解析

一、单选

03

✅答案：B. 所需辅助空间大小与问题规模n无关

💡解析：

空间复杂度为算法所需的存储空间，

若输入数据所占的空间只取决于问题本身，与算法无关，则只需分析辅助空间。

16

✅答案：B. O(n)

💡解析：

设最外层循环执行了次，则，化简可得。

内层循环执行次数，则。

那么f(n) = n，即时间复杂度T(n) = O(f(n)) = O(n)。

思维扩展

求解斐波那契数列

有递归、非递归算法。试分别分析两种算法的时间复杂度。

✅答案：（1）递归：

O(2^n)

        （2）非递归：

O(n)

💡解析：

（1）递归

void F(n){
    if(n <= 1) return n;
    return F(n - 1) + F(n - 2);
}

从上述递归形式不难发现，每次会形成两个分支，最终形成递归二叉树，则时间复杂度约为

O(2^n)

实际上时间复杂度为

O(\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ) ^ n - \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right ) ^ n \right ))

。【斐波那契数列通项公式】