前言 1.矩阵的定义 矩阵是由数字或符号排成的矩形阵列。矩阵中的每个数字或符号称为元素。矩阵用于在数学、物理学、工程学和计算机科学等领域中描述和解决线性方程组、向量、转换、空间几何等问题。矩阵通常由方括号表示，如下所示：
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} 其中，
a_{ij} 表示矩阵
A 的第
i 行第
j 列的元素。
m 表示矩阵的行数，
n 表示矩阵的列数。如果一个矩阵的行数和列数相等，那么它就是一个方阵。
2.矩阵和方程的关系 矩阵和方程有着密切的关系，矩阵可以用来表示方程的系数，从而可以通过矩阵运算来求解方程。
具体来说，对于一个包含
n 个未知数的线性方程组，可以将其表示为如下形式：
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\ \end{cases} 其中，
a_{ij} 表示第
i 个方程中第
j 个未知数的系数，
b_i 表示第
i 个方程的等式右边的常数。
将上述方程组中的系数和常数放在一个
n\times(n+1) 的矩阵中，即：
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n \\ \end{pmatrix} 可以发现，在这个矩阵中，每个方程的系数和常数都被组织为矩阵的一行，而整个方程组则被组织为矩阵的
n 行。这个矩阵被称为增广矩阵。
对于这个增广矩阵，可以通过一系列矩阵变换来将其化简为一个简单的形式，从而可以求解这个方程组。
矩阵变换的具体步骤包括交换矩阵中的两行、将矩阵中某一行乘以一个非零常数、将矩阵中某一行加上另一行的某个倍数。通过这些矩阵变换，可以将增广矩阵化为如下形式：
\begin{pmatrix} a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & \cdots & a_{1n}^{'} & b_1^{'} \\ 0 & a_{22}^{'} & \cdots & a_{2n}^{'} & b_2^{'} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^{'} & b_n^{'} \\ \end{pmatrix} 其中，矩阵中的斜线上方都是
0 ，而斜线上的元素则称为主元。
通过这种化简方式，可以用简单的代数运算来解决方程组问题，矩阵成为了一个重要的工具。
一、矩阵运算和变换 1.矩阵运算 1.1 矩阵加减 矩阵加减是指两个相同维数的矩阵进行加减运算。
设A和B为两个n行m列的矩阵，则它们的和C = A + B也是一个n行m列的矩阵，其中C的每个元素为A和B对应元素的和，即Cij = Aij + Bij。
同理，它们的差D = A - B也是一个n行m列的矩阵，其中D的每个元素为A和B对应元素的差，即Dij = Aij - Bij。
1.2 矩阵乘标量 矩阵乘标量是指将一个标量（通常为实数或复数）乘以一个矩阵的每一个元素。假设
A 是一个
m \times n 的矩阵，
k 是一个标量，则
A 乘以
k 的结果为：
kA = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k a_{m1} & k a_{m2} & \cdots & k a_{mn} \end{bmatrix} 其中
a_{ij} 表示矩阵
A 的第
i 行第
j 列的元素。注意，矩阵乘标量仅仅是将矩阵的每个元素乘以标量，而不会改变矩阵的形状。
1.3 矩阵相乘 矩阵相乘是指将两个矩阵按照一定的规则进行相乘，得到一个新的矩阵。具体的规则是：
设A是一个m × n的矩阵，B是一个n × p的矩阵，那么矩阵C = AB就是一个m × p的矩阵，且它的每个元素cij都是由A的第i行与B的第j列对应元素相乘后求和得到的，即：
cij = Σ(ai * bj)，其中i = 1, 2, …, m，j = 1, 2, …, p。
其中，ai表示A矩阵第i行的元素，bj表示B矩阵第j列的元素。
需要注意的是，只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行矩阵相乘操作。否则会出现维度不匹配的错误。
2.3*3矩阵旋转 2.1 矩阵X旋转 矩阵绕X轴旋转的公式如下：
[1 0 0 ]
[0 cosθ -sinθ ]
[0 sinθ cosθ ]其中，θ表示旋转角度。这个公式的推导可以通过以下步骤进行：
假设有一个三维向量a = [x, y, z]，它绕X轴旋转θ角度后变为b = [x’, y’, z’]。
我们可以将向量a投影到XOY平面上，得到长度为r = sqrt(y^2 + z^2)的向量c = [0, y/r, z/r]，即c的长度为1。
根据三角函数的定义，可以得到绕X轴旋转θ角度后的向量b的坐标为：
x' = x
y' = c[2] * cosθ - c[3] * sinθ = y * cosθ - z * sinθ
z' = c[2] * sinθ + c[3] * cosθ = y * sinθ + z * cosθ其中，c[2]表示向量c在Y轴上的投影，c[3]表示向量c在Z轴上的投影。
将上面的公式写成矩阵形式，可以得到绕X轴旋转θ角度的矩阵为： [1 0 0 ]
[0 cosθ -sinθ ]
[0 sinθ cosθ ]这就是绕X轴旋转θ角度的矩阵公式。
2.2 矩阵Y旋转 矩阵绕Y轴旋转的角度为θ时，可以通过以下推导得出旋转矩阵：
假设需要旋转的点为P=(x, y, z)，则旋转后得到的点P’=(x’, y’, z’)，其中：
x’ = x * cosθ + z * sinθ
y’ = y
z’ = -x * sinθ + z * cosθ
将上述式子整合成矩阵形式，得到旋转矩阵R：
R = | cosθ 0 sinθ 0 |
| 0 1 0 0 |
| -sinθ 0 cosθ 0 |
| 0 0 0 1 |
其中，第一行和第三行代表了x和z坐标的旋转，第二行代表y坐标不变，最后一行代表不变量。
因此，对于任意一个绕Y轴旋转角度为θ的点P，可以通过R矩阵的变换得到旋转后的点P’。
2.3 矩阵Z旋转 假设旋转矩阵为
R_z(\theta) ，表示绕Z轴旋转角度
\theta ，则：
R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 在推导过程中，我们可以使用以下两条性质：
矩阵乘法结合律： (AB)C = A(BC) ；
对于任意向量 \mathbf{v} = (x,y,z)^T ，绕Z轴旋转角度
\theta 的公式为：
\begin{aligned} R_z(\theta)\mathbf{v} &= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos\theta x - \sin\theta y \\ \sin\theta x + \cos\theta y \\ z \end{bmatrix} \end{aligned} 现在考虑将矩阵
R_z(\theta) 表示成两个矩阵的乘积的形式。我们需要将其矩阵元分解成两个矩阵的矩阵元的乘积。
设有矩阵
A 和
B ，满足：
AB = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} 则有：
\begin{aligned} c_{11} &= a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} \\ c_{12} &= a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ c_{13} &= a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \\ c_{21} &= a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} \\ c_{22} &= a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \\ c_{23} &= a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33} \\ c_{31} &= a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} \\ c_{32} &= a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} \\ c_{33} &= a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} + a_{33}b_{33} \end{aligned} 现在我们考虑将
R_z(\theta) 分解成两个矩阵
A 和
B 的乘积形式。注意到对于
\theta=0 时，
R_z(\theta) 就是单位矩阵，因此我们可以选择
A 和
B 满足
A=\mathbf{I} （单位矩阵）和
B=R_z(\theta) 。
现在我们要找到矩阵
A 和
B 的矩阵元分解形式，使得
AB=R_z(\theta) 。根据矩阵乘法结合律，我们可以先假设
A 和
B 的某些矩阵元的乘积等于
R_z(\theta) 的对应矩阵元，然后求解这些矩阵元的值。
具体来说，我们假设：
\begin{aligned} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} &= \cos\theta & &\qquad a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} &= -\sin\theta \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} &= \sin\theta & &\qquad a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} &= \cos\theta \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} &= 0 & &\qquad a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} &= 0 \\ \end{aligned} 由此可以得到：
A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 因此，我们可以将
R_z(\theta) 表示成两个矩阵的乘积形式：
R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 这就是
R_z(\theta) 的矩阵分解形式，其中第一个矩阵表示绕Z轴旋转
\theta 角度的变换，第二个矩阵表示单位变换。
3.4*4矩阵旋转 3.1 矩阵X旋转 首先，我们需要知道绕X轴旋转的矩阵表达式：
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 其中，
\theta 表示绕X轴旋转的角度。
接下来，我们来推导4*4矩阵绕X旋转矩阵。
假设我们有一个4*4矩阵A：
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} 为了让矩阵A绕X轴旋转，我们可以如下操作：
将矩阵A进行平移，使其中心点处于原点。 这一步操作可以通过平移矩阵来实现：
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{a_{11}+a_{21}+a_{31}+a_{41}}{4} & -\frac{a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}}{4} & -\frac{a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}}{4} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a'_{11} & a'_{12} & a'_{13} & a'_{14} \\ a'_{21} & a'_{22} & a'_{23} & a'_{24} \\ a'_{31} & a'_{32} & a'_{33} & a'_{34} \\ a'_{41} & a'_{42} & a'_{43} & a'_{44} \end{bmatrix} 绕X轴旋转角度为 \theta 。
这一步操作可以通过绕X轴旋转矩阵来实现：
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a'_{11} & a'_{12} & a'_{13} & a'_{14} \\ a'_{21} & a'_{22} & a'_{23} & a'_{24} \\ a'_{31} & a'_{32} & a'_{33} & a'_{34} \\ a'_{41} & a'_{42} & a'_{43} & a'_{44} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a''_{11} & a''_{12} & a''_{13} & a''_{14} \\ a''_{21} & a''_{22} & a''_{23} & a''_{24} \\ a''_{31} & a''_{32} & a''_{33} & a''_{34} \\ a''_{41} & a''_{42} & a''_{43} & a''_{44} \end{bmatrix} 将矩阵A进行平移，使其回到原来的位置。 这一步操作可以通过平移矩阵来实现：
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{a_{11}+a_{21}+a_{31}+a_{41}}{4} & \frac{a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}}{4} & \frac{a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}}{4} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a''_{11} & a''_{12} & a''_{13} & a''_{14} \\ a''_{21} & a''_{22} & a''_{23} & a''_{24} \\ a''_{31} & a''_{32} & a''_{33} & a''_{34} \\ a''_{41} & a''_{42} & a''_{43} & a''_{44} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} \end{bmatrix} 于是，我们得到了4*4矩阵绕X旋转矩阵：
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{a_{11}+a_{21}+a_{31}+a_{41}}{4} & -\frac{a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}}{4} & -\frac{a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}}{4} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{a_{11}+a_{21}+a_{31}+a_{41}}{4} & \frac{a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}}{4} & \frac{a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}}{4} & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} \end{bmatrix} 其中，
b_{ij} 表示旋转后的矩阵元素。
3.2 矩阵Y旋转 假设我们要将一个点
(x, y, z) 绕 Y 轴旋转
\theta 角度，那么旋转后的新点坐标为
(x', y', z') 。
我们可以先将坐标系绕 Y 轴逆时针旋转
\theta 角度，这样点
(x, y, z) 就落在了新的坐标系中。此时，点
(x', y', z') 的坐标就是它在新坐标系中的坐标。然后再将坐标系逆时针旋转
-\theta 角度，这样点
(x', y', z') 就回到了原来的坐标系中。
根据三维坐标系中的旋转矩阵推导公式可知：
\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix} 因此，绕 Y 轴旋转
\theta 角度的矩阵为：
\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} 3.3 矩阵Z旋转 假设我们有一个4x4的矩阵
M ，它的每个元素为
m_{ij} ，我们想要将它绕着Z轴旋转一个角度
\theta 。为了完成这个任务，我们可以使用下面的矩阵
R ：
R=\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} 我们将
M 和
R 相乘，得到一个新的矩阵
M' ，它是旋转后的矩阵：
M' = M\times R 这里是具体的推导过程：
我们先考虑矩阵 R 如何作用于矩阵
M 上。为了方便，我们假设
M 的每列分别为
M_1, M_2, M_3, M_4 。那么矩阵
R 作用于
M 上，就相当于将每列旋转一个角度
\theta ，得到新的列向量
M'_1, M'_2, M'_3, M'_4 。因此，我们可以将矩阵
R 表示为一个函数
f ，它将列向量
M_i 映射到新的列向量
M'_i ：
M'_i = f(M_i) = R\times M_i 现在我们需要将 f 应用于整个矩阵
M 上。考虑到矩阵乘法的性质，我们可以将
f 应用于
M 的每一列，然后将结果拼起来组成新的矩阵
M' ：
M' = [f(M_1), f(M_2), f(M_3), f(M_4)] 将 f 代入上式，得到：
\begin{aligned} M' &= [R\times M_1, R\times M_2, R\times M_3, R\times M_4] \\ &=\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \\ \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} \cos(\theta)m_{11}-\sin(\theta)m_{21} & \cos(\theta)m_{12}-\sin(\theta)m_{22} & \cos(\theta)m_{13}-\sin(\theta)m_{23} & \cos(\theta)m_{14}-\sin(\theta)m_{24} \\ \sin(\theta)m_{11}+\cos(\theta)m_{21} & \sin(\theta)m_{12}+\cos(\theta)m_{22} & \sin(\theta)m_{13}+\cos(\theta)m_{23} & \sin(\theta)m_{14}+\cos(\theta)m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \\ \end{bmatrix} \end{aligned} 因此，将一个4x4的矩阵绕着Z轴旋转一个角度
\theta ，就可以使用上面的矩阵
R ，并将它与原矩阵
M 相乘得到旋转后的矩阵
M' 
