数列极限性质-保号性（确定性的预测）

云深之无迹

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数学就是学了忘，忘了学，以前的文章感觉写的不好。

数列极限性质-4性(唯一性，有界性，保号性，子数列.聚点）

函数极限的性质-局部保号性

当一个数列的极限是正数（或负数）时，数列的项在充分靠近极限时也将保持相同的符号（正或负）。

数列极限保号性的数学表述

设数列  收敛于极限 ：

如果 ， 那么存在一个正整数 ，使得当  时，始终有 *。

如果 ， 那么存在一个正整数 ，使得当  时，始终有 *。

可以把“极限”理解为“最终趋近于的值”。如果极限是正的，说明这个数列最终会越来越接近一个正数。

那么，靠后的这些项必然是正数（不可能无限逼近一个正数却还在负数区间来回跳动）。

其实保的就是符号，但是这个符号左右两边都有，可以看作是一种肯定的预测。就像你开车接近一个目的地（比如正数 1），你最终肯定会开进它所在的“正数区间”。

为什么成立（用“ε-N”语言简单证明一下）

如果 ，则对任意 ，存在 ，使得当  时：

取 （这个取值有任意性，只要是A的附近都可以，这里是缩小了，保证一定被A所覆盖），则：

所以此时 。说明从某一项开始， 全部为正。

注意如果极限是 0，那就不能保证保号性。

如：

但它并不保号，正负交替，也是最经典的例子。

极限的保号性

极限的保号性

左图（极限为正）： 数列  趋近于正数 1，随着  增大，所有后续项都保持为正，验证了极限为正时的保号性。

中图（极限为负）： 数列  趋近于负数 -2，后续项保持负号，也验证了保号性。

右图（极限为0，不保号）： 数列 ，极限是 0，但项值正负交替，说明当极限为 0 时，不能保证保号性。