【数据结构初阶】--算法复杂度详解

用户11915063

发布于 2025-11-19 19:09:46

130

回顾：在之前的博客中，大家学习了C语言的相关知识，相信大家在C语言的学习过程中收获慢慢，为我们接下来的数据结构打下了坚实的基础，目前为止，C语言专栏的内容就到此为止，如果大家还有疑惑的地方，大家可以私信我，我会尽力出一篇思路清晰的博客，欢迎大家欣赏，接下来我们就开始今天的内容-->算法复杂度.(注：我们在数据结构的学习过程中会分为数据结构初阶和数据结构高阶。《数据结构-初阶》中我们将掌握顺序表、链表、栈和队列、二叉树、常见排序算法等内容，《数据结构-高阶》在学习过数据结构初阶的基础上，我们再学习)

一、数据结构与算法介绍

1.1、数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储， 组织(增删查改)数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。没有一种单一的数据结构对所有用途都有用，所以我们要学习各式各样的数据结构，如：线性表，树，图，哈希等。

1.2、算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取⼀个或⼀组的值为输入，并产生出⼀个或⼀组值作为输出。简单来说算法就是⼀系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

这里，我们要了解到数据结构与算法是不分家的，两者紧密联系，一道算法题可以有多种解法，而每一种解法都有其对应的时间复杂度和空间复杂度。

1.3数据结构与算法的重要性

目前，数据结构与算法在校园招聘网上体现的十分明显，现在大多数企业开始取消选择题，全是编程题，这样来考察求职者的算法能力，帮助企业筛选人才，可见数据结构与算法的重要性。

学好数据结构与算法的小秘诀：

秘诀一：死磕代码，我们在之前的C语言学习中对此应该体会很深，随着你代码写的越来越多，你的代码能力一定会有所提升的
秘诀二：画图+思考，有时候面对一些复杂的题，我们纯看题然后思考，可能会没有很清晰的思路，但是如果我们通过画图来解析这个题目的话，就往往能够很直观的明确这个题的思路了，可以说想要学好数据结构与算法，画图一定是必不可少的。

二、算法效率

一道算法题有多种解题方法，这些方法里面肯定有好的方法和不那么好的方法，那我们该如何区衡量一个算法的变化呢？

我们来通过一道题来直观感受一下--轮转数组：189.轮转数组-力扣（LeetCode）

思路：每次tmp保存最后一个数字，循环将剩余数字往后走一位，再将tmp放到数组的第一位。

代码展示：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) 
{
    while (k--) 
    {
        // 向右轮转一次
        // 保存数组最后一个位置的数据
        int temp = nums[numsSize - 1];
        for (int i = numsSize - 1; i > 0; i--) // 这里其实比原来少一个数据
        {
            nums[i] =nums[i-1]; // 把最后一个元素存放好后，剩余的元素都向后移动一次。
        }
        nums[0] = temp; // 最后再把保存的数据存放在nums[0]中
    }
}

图解：

这里是从后往前依次向后面前挪动该数据的，这样不会覆盖掉需要的数据

这样看上去我们的代码和思路是没问题的，我们自测一下试一下

我们可以看到这里显示了通过的样例，看来我们的代码和思路果然没有问题，那我们提交来试一下：

我们可以发现，自测运行是可以通过的，但是提交后会提示我们超过时间限制，那说明我们设计的算法不够好，效率不够高，我们需要通过算法复杂度来分析其好坏，效率高低。

2.1复杂度的概念及其重要性

算法在编写成可执行程序后，运⾏时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量⼀个算法的好

坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

三、时间复杂度

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数式T(N),它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那我们为什么不直接计算程序的运行时间呢？

因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，比如同⼀个算法程序，用⼀个老编译器进行编译和新编译器编译，在同样机器下运时间不同。
同⼀个算法程序，用⼀个老低配置机器和新高配置机器，运行时间也不同。
并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

程序的执行时间=二进制指令运行时间*执行次数 通常情况下二进制指令运行时间是常量（影响效果忽略不计），所以最重要的还是执行次数

那么算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)到底是什么呢？这个T(N)函数式计算了程序的执行次数。通过c语言编译链接章节学习，我们知道算法程序被编译后生成⼆进制指令，程序运行，就是cpu执行这些编译好的指令。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执行次数的函数式T(N)，假设每句指令执行时间基本⼀样(实际中有差别，但是微乎其微)，那么执行次数和运行时间就是等比正相关，这样也脱离了具体的编译运行环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。比如解决⼀个问题的算法a程序T(N) = N，算法b程序T(N) = N^2，那么算法a的效率⼀定优于算法b。

例子：

//计算FUNC1的执行次数
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}

Func1执行的基本操作次数： T(N)=N^2+2*N+10

N=10 T(N)=130
N=100 T(N)=10210
N=1000 T(N)=1002010

通过对N取值分析，对结果影响最大的一项是N^2。

在实际计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确执行次数，因为精确执行次数计算起来很麻烦而且意义不大，因为我们计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，即N不断变大时T(N)的差别，上面我们已经发现了当N不断变大时常数和低阶项对结果的影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。

3.1大O渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

💡推导大O阶规则：

时间复杂度函数式T(N)中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变大时， 低阶项对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。 如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项目的常数系数，因为当N不断变大，这个系数对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。 T(N)中如果没有N相关的项目，只有常数项，用常数1取代所有加法常数。

通过以上方法我们可以推导出 Func1的时间复杂度为：O(N^2)

3.2时间复杂度计算示例

示例一：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

分析：

示例二：

// 计算Func3的时间复杂度？--O(M+N)
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

分析：

示例三：

// 计算Func4的时间复杂度？--O(1)
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

分析：

示例四：

// 计算strchr的时间复杂度？--O(N)
const char* strchr(const char
	* str, int character)
{
	const char* p_begin = s;
	while (*p_begin != character)
	{
		if (*p_begin == '\0')
			return NULL;
		p_begin++;
	}
	return p_begin;
}

分析：

💡总结： 通过以上的例子，我们就可以发现有些算法题存在多种情况需要我们进行讨论

最坏情况：任意输⼊规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输⼊规模的期望运行次数
最好情况：任意输⼊规模的最小运行次数(下界)

大O的渐进表示法在实际中⼀般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

示例五：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？--O(N^2)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (int end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (int i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

分析：

示例六：

//计算func5的时间复杂度--O(logn)
void func5(int n)
{
	int cnt = 1;
	while (cnt < n)
	{
		cnt *= 2;
	}
}

分析：

注：当n接近无穷大时，底数的大小对结果影响不大。因此，⼀般情况下不管底数是多少都可以省略不写，即可以表示为logn，不同书籍的表示方式不同，以上写法差别不大，这里建议使用logn。

示例七：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？--O(N)
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
 
	 return Fac(N - 1) * N;
}

分析：

以上就是常见的时间复杂度的推理运算了，掌握好以上的运算和分析推过程，相信大家在以后的学习中能更上一层楼

四、空间复杂度

空间复杂度也是⼀个数学表达式，是对⼀个算法在运行过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为常规情况每个对象大小差异不会很大，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、⼀些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定 补充：时间是累计的，空间是不累计的

4.1空间复杂度计算示例

示例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？--O(1)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

分析：

示例2：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？--O(N)
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

分析：

补充：看一下malloc的申请空间情况： void func(int n) { int *arr=(int*)malloc(sizeof(int)*n); } 空间复杂度为：O(N)

五、复杂度对比

总结：时间复杂度：（由低到高） O(1) < O(logn) < O(n) < O(n^2) < O(2^N) <O (n!)

六、复杂度算法题

轮转数组（三种思路）

题目链接：189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode）

思路一：每次tmp保存最后一个数字，循环将剩余数字往后走一位，再将tmp放到数组的第一位。

复杂度分析：

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(1)

代码：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    while (k--) {
        // 向右轮转一次
        // 保存数组最后一个位置的数据
        int temp = nums[numsSize - 1];
        for (int i = numsSize - 1; i > 0; i--) // 这里其实比原来少一个数据
        {
            nums[i] =nums[i -1]; // 把最后一个元素存放好后，剩余的元素都向后移动一次。
        }
        nums[0] = temp; // 最后再把保存的数据存放在nums[0]中
    }
}

思路二：申请一个新的数组空间，先将后k个数据放在新数组中，再将剩下的数组挪到新数组中。

复杂度分析：

时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(N)

代码：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    //创建新数组
    int newsize[numsSize];
    //遍历原数组，将数据轮转后放到newsize数组中
    for (int i = 0;i < numsSize;i++)
    {
        newsize[(i + k) % numsSize] = nums[i];
    }
    //将newsize数组中的数据导入到nums数组
    for (int i = 0;i < numsSize;i++)
    {
        nums[i] = newsize[i];
    }
}

图解分析：

我们来对比思路一：

总结：我们发现思路二的时间复杂度降下来了，但是空间复杂度变高了，这种思路叫做“空间换时间”，那有没有什么方法可以不升高空间复杂度呢？我们来看一下思路三

思路三：

三次逆置：

逆置前n-k个
逆置后k个
逆置全部

复杂度分析：

时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(1)

代码：

//逆置
void reverse(int* nums, int left, int right)
{
    while (left < right)
    {
        //交换
        int temp = nums[left];
        nums[left] = nums[right];
        nums[right] = temp;
        left++;
        right--;
    }
}
 
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    k = k % numsSize;
    //前n-k个数据逆置
    reverse(nums, 0, numsSize - 1 - k);
    //后k个数据逆置
    reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
    //整体逆置
    reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}

总结：我们发现思路三不仅没有增加空间复杂度，而且还把时间复杂度降下来了，这样就是最优的解法了，这样的效率是最高的，我们平时在刷题时，也要这样画图分析，不仅可以提供很好的思路，而且也能使晦涩难懂的题目变得简单易懂

这篇文章用到了之前C语言的相关知识，大家可以去回顾一下，这里我把链接挂上去了，大家就不用查找了🌹

【C语言】：字符串函数超详解（10个最重要函数）

【C语言】动态内存管理（详解版)

总结：这篇博客到这里就结束了，相信通过大家的思考和亲自动手画图实践可以把难题一一化解，后续我还会继续分享顺序表、链表、二叉树、堆、栈、队列等相关数据结构的博客，大家感兴趣的话可以先看一下往期回顾中的几篇文章，都是对于数据结构来说比较重要的一些C语言知识储备，如果文章对你有帮助的话，欢迎评论，点赞，收藏加关注，感谢大家的支持。 🌹🌹🌹

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2025-08-04，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

数组