数据结构背后的秘密:时间复杂度与空间复杂度详解

夜雨声烦1413

发布于 2026-01-12 15:18:45

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嘿嘿,家人们,从今天开始,咱们将进去数据结构的学习,好啦,废话不多讲,开干！

1:什么是数据结构

数据结构是计算机存储、组织数据的方式,指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合.其实通俗点说就是在内存当中去对我们的数据进行一个管理.

2:什么是算法

算法就是定义良好的计算过程，取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

3:算法的效率

3.1:如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如说下面的斐波那契数列的代码

long long Fib(int N)
{
    if(N < 3)
        return 1;

    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

3.2:算法的复杂度

算法在编写成可执行程序以后,运行时需要消耗时间资源与内存资源.那么因此,衡量一个算法的好坏,一般从时间和空间这两个维度出发,即空间复杂度与时间复杂度.
时间复杂度主要衡量一个算法的运行时间的快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所占用的内存空间.
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度.

4:时间复杂度

4.1:时间复杂度的概念

时间复杂度的定义:在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道.但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式.一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度. 因此:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就能算出该算法的时间复杂度.

了解了时间复杂度的概念以后,我们来看一段代码

4.1.1:代码1

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
void Function(int n)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
			++count;
	}
	for (int k = 0; k < 2 * n; k++)
	{
		++count;
	}
	int m = 0;
	while (m--)
	{
		++count;
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	Function(n);
	return 0;
}

计算一下Function函数的++count语句总共执行了多少次,这里博主不细讲哈,uu们可以看下面的图片

因此Function函数执行的基本操作次数: F(N) = N ^ 2 + 2 * N. 实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法.

4.2:大O的渐进表示法

大 O 符号: 是用于描述函数渐进行为的数学符号. 推导大O阶方法:

使用大O的渐进表示法以后,Function的时间复杂度为:O(N²)
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均、最坏情况:

例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N).

用常数1取代运行时间中的所有加法常数.
在修改后运行次数函数中,只保留最高阶项.
如果最高阶存在且项数不是1,则去除这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最坏情况:N次找到.
平均情况:N/2次找到.
最好情况:1次找到.

4.3:常见的时间复杂度的计算举例

4.3.1:代码1

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

void Function(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < 2 * N; i++)
	{
		++count;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

int main()
{
	int n = 0;
	Function(n);
	return 0;
}

计算Function函数的时间复杂度

4.3.2:代码2

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

void Function(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < M; i++)
	{
		count++;
	}
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}


//时间复杂度为O(M+N)
int main()
{
	int m, n = 0;
	scanf("%d %d", &m, &n);
	Function(n, m);
	return 0;
}

4.3.3:代码3

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>


void Function(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < 100; i++)
	{
		count++;
	}
	printf("%d", count);
}

//Function的时间复杂度为O(1)

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	Function(n);
	return 0;
}

4.3.4:代码4

/*
每次进行折半;N / 2 / 2 / 2 / 2..../ 2 = 1
最坏的情况就是缩放到只剩下1个值的时候;
假设找了X次
N / 2^x = 1;
x = logN(以2为底)
*/

//时间复杂度为(logN),以2为底可以简写成logN,以其它数为底时不可以缩写为logN,要带上底数。
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 	int mid = begin + ((end-begin)>>1);
	 if (a[mid] < x)
 		begin = mid+1;
 	else if (a[mid] > x)
 		end = mid-1;
 	else
 		return mid;
 }
	 return -1;
}

4.3.5:代码5

// Fac的时间复杂度为O(N);递归调用是多次调用的累加;时间复杂度算的是消耗的次数,每次调用是常数次,总共调用了N次
long long Fac(size_t N)
{
 if(1 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

4.3.6:代码6

// Fib(2 ^ N);总共调用了(2^N-1 - 1)次
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 	return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

5:空间复杂度

空间复杂度也为数学表达式,是对一个算法在运行过程中临时占用额外存储空间大小的量度。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为这个也没有太大的意义,所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂的计算规则规则与时间复杂度类似,也用大O渐进表示法。 PS:函数运行时所需要的栈空间(存储参数,局部变量,一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请额外的空间来确定.

5.1:代码1

//Bubblesort的空间复杂度为O(1)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 	int exchange = 0;
 	for (size_t i = 1; i < end; ++i)
	 {
 	if (a[i-1] > a[i])
 	{
 		Swap(&a[i-1], &a[i]);
 		exchange = 1;
	}
	 }
 	if (exchange == 0)
 		break;
  }
}

5.2:代码2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项,空间复杂度为O(N)
#include <stdio.h>
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

5.3:代码3

//递归的空间复杂度计算,也是空间累加,但是不同的是空间可以重复利用
#include <stdio.h>
long long Fib(size_t N)
{
    if (N < 3)
        return 1;

    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}