中缀到后缀表达式中的关联性规则

中缀表达式到后缀表达式的转换是编译原理中的一个重要概念，主要用于将人类可读的中缀表达式转换为计算机可高效处理的后缀表达式（也称为逆波兰表示法）。这个转换过程涉及到几个关键的关联性规则：

基础概念

1. 中缀表达式：常见的数学表达式形式，例如 3 + 4 * 2 / ( 1 - 5 ) ^ 2 ^ 3。
2. 后缀表达式：操作符位于操作数之后的表达式形式，例如 3 4 2 * 1 5 - 2 3 ^ ^ / +。

关联性规则

1. 操作符优先级：定义了操作符之间的优先级关系，例如乘法和除法的优先级高于加法和减法。
2. 结合性：定义了相同优先级的操作符是从左到右还是从右到左进行计算。大多数操作符是左结合的，例如 + 和 -，而幂运算 ^ 是右结合的。

转换过程

1. 初始化一个空栈用于存放操作符和括号。
2. 初始化一个空列表用于生成后缀表达式。
3. 从左到右扫描中缀表达式：
   • 如果遇到操作数，直接添加到后缀表达式列表中。
   • 如果遇到左括号 (，压入栈中。
   • 如果遇到右括号 )，则弹出栈顶元素并添加到后缀表达式列表中，直到遇到左括号 (。
   • 如果遇到操作符，比较其与栈顶操作符的优先级：
     • 如果栈为空或栈顶为左括号 (，或当前操作符的优先级高于栈顶操作符，则将当前操作符压入栈中。
     • 否则，弹出栈顶操作符并添加到后缀表达式列表中，重复此步骤。

• 将栈中剩余的操作符依次弹出并添加到后缀表达式列表中。

应用场景

• 编译器设计：用于表达式求值和语法分析。
• 计算器：实现数学表达式的计算。
• 算法设计：在图论、数据结构等领域中，后缀表达式常用于实现高效的算法。

示例

假设我们有中缀表达式 3 + 4 * 2 / ( 1 - 5 ) ^ 2 ^ 3，转换过程如下：

1. 扫描到 3，添加到后缀表达式列表：3
2. 扫描到 +，压入栈中。
3. 扫描到 4，添加到后缀表达式列表：3 4
4. 扫描到 *，压入栈中。
5. 扫描到 2，添加到后缀表达式列表：3 4 2
6. 扫描到 /，压入栈中。
7. 扫描到 (，压入栈中。
8. 扫描到 1，添加到后缀表达式列表：3 4 2 / 1
9. 扫描到 -，压入栈中。
10. 扫描到 5，添加到后缀表达式列表：3 4 2 / 1 5
11. 扫描到 )，弹出栈顶元素 - 并添加到后缀表达式列表：3 4 2 / 1 5 -
12. 弹出栈顶元素 / 并添加到后缀表达式列表：3 4 2 1 5 - /
13. 扫描到 ^，压入栈中。
14. 扫描到 2，添加到后缀表达式列表：3 4 2 1 5 - / 2
15. 扫描到 ^，压入栈中。
16. 扫描到 3，添加到后缀表达式列表：3 4 2 1 5 - / 2 3
17. 弹出栈顶元素 ^ 并添加到后缀表达式列表：3 4 2 1 5 - / 2 3 ^
18. 弹出栈顶元素 ^ 并添加到后缀表达式列表：3 4 2 1 5 - / 2 3 ^ ^
19. 弹出栈顶元素 + 并添加到后缀表达式列表：3 4 2 1 5 - / 2 3 ^ ^ +

最终得到的后缀表达式为：3 4 2 * 1 5 - 2 3 ^ ^ / +

参考链接

• 逆波兰表示法
• 中缀表达式转后缀表达式

通过上述过程，可以将复杂的中缀表达式转换为计算机可高效处理的后缀表达式，从而实现更高效的计算和表达式求值。