动态问题中的重叠子问题(硬币找零问题)

动态问题中的重叠子问题是指在动态规划算法中，问题的解可以通过递归地求解更小规模的子问题得到，并且这些子问题之间存在重叠。硬币找零问题是一个经典的动态问题中的重叠子问题。

硬币找零问题是指给定一定面额的硬币和一个目标金额，找出能够组合成目标金额的最少硬币数量。例如，给定硬币面额为[1, 2, 5]，目标金额为11，我们可以用3个硬币组合成11，即11 = 5 + 5 + 1，所以最少硬币数量为3。

动态规划算法可以解决硬币找零问题。具体步骤如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示组成金额i所需的最少硬币数量。
2. 初始化状态：将dp数组初始化为一个较大的值，除了dp[0] = 0，其余元素初始化为正无穷。
3. 状态转移方程：对于每个金额i，遍历硬币面额coins[j]，如果coins[j] <= i，说明可以使用硬币coins[j]来组成金额i，此时dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)。
4. 返回结果：最终dp数组中的dp[amount]即为组成目标金额所需的最少硬币数量。

硬币找零问题的优势在于可以通过动态规划算法高效地求解最优解。它的应用场景包括货币兑换、零钱找零、自动售货机等需要进行金额组合的场景。

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