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【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )

文章目录 一、常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 二、递推方程通解的四种情况 一、常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 ---- 如果...“常系数线性非齐次递推方程” 的非齐次部分 , 是 n 的 t 次多项式 , 与 \beta^n 的指数 , 的组合 ; 那么其特解的形式 , 是 n 的 t 次多项式 , 与...】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 ) 计算齐次部分通解 : 递推方程齐次部分标准形式 : a_n - 2a_{n-1} = 0...a^*_n = P_1n + P_2 + P_33^n 中 , 得到最终特解 : a^*_n = -n - 2 + 3^{n+1} ; 齐次部分通解形式 : \overline{a_n} =...】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )

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小学生都能看懂的生成函数入门教程

这时候函数第 项的系数就表示了序列中的第 个元素。...考虑两个多项式相乘的结果 ，它的第k项的系数为 。这个过程是相当于是在枚举第一个物品选了几个，比如4这一项，他等于 。...(再看不懂的话建议去补一下高中组合计数qwq，这里讲的这么详细是为了给指数生成函数做铺垫) 这里建议大家去手玩一下多项式乘法，玩一下(玩的时候枚举 算他的系数)就会发现这个过程与背包的过程惊人的相似，...因为事实上背包的过程就是在模拟多项式乘法。...这里为了下文(指数型生成函数)好讲解，本菜鸡直接把多项式相乘的结果(抄一下)写出来 其中 项可以由下面这些得到，这种形式与我们的手玩结果就非常相似了

1.5K31

Jaccard相似度在竞品分析中的应用

譬如我要分析一个技术网站的竞品有哪些，通俗点说，就是看一个用户经常访问哪些网站、不同类的用户访问网站的偏好是什么、在同类技术网站里与之定位想进，用户人群相似的网站有哪些等等。...在推荐里我们经常会遇到item和user之间的相似度，那么竞品分析其实也可以同类化于相似度的计算问题。...简单说下公式： 给定两个集合A和B，A和B的Jaccard相似度 = |A与B的交集元素个数| / |A与B的并集元素个数| 　　那么这样一个公式是来应用到竞品分析中的呢？...然而实际上，集合中的元素位置其实是有先后之分的，按降序排列，即竞品相关度是越来越低的。此时未考虑元素的位置因素似乎也有悖尝试。... = 0.495 　　　　  知乎对博客园的Jaccard相似度 =  （ 两者交集的权重得分和/ 两者权重总和 ) * 博客园在知乎集合中所占的权重 =（ 1+0.6+0.1+1+0.55+0.05

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Mathematica 11 在偏微分方程中的应用

1 导读 偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学专业课程。它是现代数学的一个重要分支，在许多应用学科特别是在物理学、流体力学等学科中有重要的应用。...这些进步都为物理学、工程学和其他学科中建模等方面提供了更加强大和灵活的工具。 ? 2 案例 Mathematica在偏微分方程中的应用部分示例如下: ?...下面小编用Mathematica求解几个实例的过程向大家展示其在偏微分方程中的应用。...示例1:观察箱中的量子粒子 一个在以 xMax 和yMax 为边的二维矩形内自由移动的量子粒子，由二维含时薛定谔方程，加上使波函数在边界处为 0 的边界条件来描述。 ?...可视化箱中随时间变化的概率密度。 ? ? ? 示例2:交互求解和可视化偏微分方程 通过调整一个缺口在矩形上交互操作一个泊松方程（Poisson equation）。 ? ? ?

2.6K30

机器学习在组合优化中的应用（上）

有一些组合优化问题不是那么的“难”，比如最短路问题，可以在多项式的时间内进行求解。然而，对于一些NP-hard问题，就无法在多项式时间内求解了。...1 动机 在组合优化算法中使用机器学习的方法，主要有两方面： （1）优化算法中某些模块计算非常消耗时间和资源，可以利用机器学习得出一个近似的值，从而加快算法的速度。...（当前行为“好”以后就多往这个方向发展，如果“坏”就尽量避免这样的行为，即不是直接得到了标签，而是自己在实际中总结得到的） 3 近来的研究 第1节的时候，我们提到了在组合优化中使用机器学习的两种动机，那么现在很多研究也是围绕着这两方面进行展开的...而动机（2）中的经验学习，是采用reinforcement learning从reward中不断修正自己（没有expert）。在动机（1）中，agent is taught what to do。...在贪心算法中，每次选择一个距离上次插入节点最近的节点，当然我们最直接的做法也是这样的。但是这样的效果，并没有那么的好，特别是在大规模的问题中。

2.8K30

组合电路在 HLS 中的重要性

组合电路在 HLS 中的重要性 该项目通过一个示例演示了 HLS 中组合电路对设计的影响。 在 HLS 中描述组合任务非常重要，因为它直接影响整个系统的性能。...系统中的其他模块使用主输出，而下一个状态数据修改存储单元并定义新的电路状态。 动机 所有组合电路都需要一个时间间隔，以便在其输入发生任何变化后产生稳定的输出。这个时间被称为传播延迟。...组合电路中从输入到输出的不同路径可能具有各种延迟。最长路径也称为关键路径，被定义为设计传播延迟。 在时序电路中，时钟周期对设计性能有直接影响。图 2 中组合部分的传播延迟决定了最小时钟周期。...组合部分也对相关时序电路的延迟有直接影响。 因此，了解如何在 HLS 中设计高效的组合电路是在硬件上开发高性能算法的第一步。...此外，第二种方案在 FPGA 上使用的资源要少得多。 结论 设计高效的组合电路是在 HLS 中开发算法或系统控制器的第一步。多种优化技术和编码风格可用于描述复杂算法的组合部分。

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【组合数学】递推方程 ( 递推方程求解过程总结 | 齐次 | 重根 | 非齐次 | 特征根为 1 | 指数形式 | 底为特征根的指数形式 ) ★★

构造递推方程的通解 : ( 1 ) 无重根 : 构造 c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的 通解 ; ( 2...求通解中的常数 : ( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ; ( 2 ) 代入常数获得通解 :...根据 特征根 写出通解中的项 H_i(n) : 特征根 q_i , 重复度 e_i , 其中 i 的取值是 0 到 t ; 第 i 个特征根对应的通解项 , 记作 H_i(...(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ; 特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部 f(n) 有关 , f(n) 为 n 的 t 次多项式 , 如果齐次部分...t + e 次多项式 ; 提高的次幂是 特征根 1 的重复度 , 如果重复度为 2 , 则需要提高 2 次幂 ; 为了解决上述问题 , 这里需要将 n 的次幂提高 1 , 将特解形式中的一次方项

1.1K00

在 Android 中通过 Hilt 进行依赖项注入

DI (依赖项注入) 是一种在程序设计中被广泛使用的技术，非常适合 Android 开发，该技术可以将依赖项提供给类，从而让类不必自己创建这些依赖。...您是否尝试过在应用中进行手动依赖项注入？即使使用了当今许多现有的依赖项注入库，随着您的项目越来越大，这些库仍需要大量模板代码，因为您必须手动构造每个类及其依赖项，并创建容器用来复用和管理依赖项。...正因如此，在 Google Play 商店前 10k 的顶级应用中，其中 74% 都广泛使用了 Dagger。但是，由于在编译期生成代码，构建时间会有所增加。...由于许多 Android Framework 中的类都是由操作系统自身实例化的，因此在 Android 应用中使用 Dagger 时，会存在与此相关的模板代码。...Codelab 我们发布了如下两个 Codelab，手把手教您使用 Hilt: 在 Android 应用中使用 Hilt 将 Dagger 应用迁移到 Hilt 示例代码 您是否想在现存应用中查看如何使用

1.8K20

【组合数学】递推方程 ( 特解形式 | 特解求法 | 特解示例 )

” 的通解是 H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n) 在 【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 ) 博客中介绍了 “常系数线性齐次递推方程...” 的通解求法 ; 本博客中开始介绍 特解 H^*(n) 的求法 ; 特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部 f(n) 有关 , f(n) 为 n 的 t 次多项式 , 特解...0 到 t ; ( 3 ) 举例 : 特解 H^*(n) 是 n 的 2 次多项式 ; 特解项数 : 则 特解项数 是 2 + 1 = 3 项 ; 特解每项组成 : 特解每一项由...P_1n^2 + P_2n + P_3 ( 2 ) 特解代入递推方程 : 然后将特解代入递推方程 , 将特解中的系数确定下来 ; 二、特解形式与求法 示例 ---- 递推方程 : a_n + 5a_{...将特解代入递推方程 : 将特解 H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3 , 代入到递推方程 a_n + 5a_{n-1} + 6a_{n-2}=3n^2 中 , 得到 : (P

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【组合数学】多项式定理 ( 多项式定理 | 多项式定理证明 | 多项式定理推论 1 项数是非负整数解个数 | 多项式定理推论 2 每项系数之和 )

t 个项 , 这 t 项相加的 n 次方 ; 二、多项式定理 证明 ---- 多项式中 (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n : 分步进行如下处理 : 第 1...注意上面的式子是多重集的全排列数 =\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 三、多项式定理 推论 1 ---- 多项式定理 推论 1 : 上述多项式定理中 , 不同的项数 是方程...每一项之前的系数 \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 含义 : n_1 代表 x_1 的指数 , n_1 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了 x...\leq n_i , 推导过程如下 : 在 k 种元素中 , 取 r 种元素 , 每种元素取 0 \sim r 个不等的元素 , 使用 k-1 个分割线分割 k 种元素的位置...r) 参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 ) 四、多项式定理

1.2K00

非线性世界的探索：多项式回归解密

多项式回归的应用多项式回归在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：自然科学：多项式回归可用于建模物理、化学和生物学等领域的非线性关系，例如动力学方程。...金融：在金融领域，多项式回归可以用来预测股票价格、汇率和投资组合的表现，因为这些数据通常受多种复杂因素的影响。医学：多项式回归可以用于分析医学数据，例如药物吸收速率与剂量之间的关系。...poly.fit(X)：这一行将多项式特征生成器 poly 与输入数据集 X 进行拟合（适应）。在这个步骤中，多项式特征生成器会学习如何将输入数据集中的特征转换为多项式特征。...这可能会导致模型在预测时表现不佳。通过归一化，可以确保所有特征在相似的数值范围内，使模型更容易学习特征之间的关系。加速模型收敛：在许多优化算法中，归一化可以帮助模型更快地收敛到最优解。...当特征具有相似的数值范围时，梯度下降等优化算法通常更加稳定和高效。

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在FPGA中何时用组合逻辑或时序逻辑

在FPGA中何时用组合逻辑或时序逻辑 作者：郝旭帅 校对：陆辉 在设计FPGA时，大多数采用Verilog HDL或者VHDL语言进行设计（本文重点以verilog来做介绍）。...那么在设计时应该用哪一种呢？ 在设计时，有没有什么规定必须要用组合逻辑或者时序逻辑？例如：在verilog中，在always中被赋值了就必须是reg类型，assign赋值了就必须是wire类型。...其他的反馈中，加入寄存器即可。而加入寄存器后，就变为时序逻辑。 根据时序对齐关系进行选择 在很多的设计时，没有反馈，那么应该如何选择呢？...根据运行速度进行选择 在数字逻辑电路中，中间某一部分为组合逻辑，两侧的输入或者输出也会对延迟或者输入的数据速率有一定的要求。 ?...在上述的三个规则中，第一个和第二个用的是最多的，第三个在设计时，有时不一定能够注意到，当出现时序违例时，知道拆分能够解决问题就可以。 ? - End -

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【组合数学】不定方程解个数问题 ( 多重集r组合数 | 不定方程非负整数解个数 | 生成函数展开式中 r 次幂系数 | 给定范围系数 情况下不定方程整数解个数 )

文章目录 多重集 r 组合数 生成函数计算方法 多重集 r 组合数题目 不定方程解个数 x 取值范围为 ( 0 ~ n ) 不定方程解个数 x 取值范围为 自然数 ( 0 ~ ∞ ) 符合多重集组合公式计算情况...不定方程解个数 x 取值范围 ( 给定一个范围 ) 不定方程解个数 x 取值范围 ( 给定一个范围 并带系数 ) 不定方程解的题目 带限制的情况 多重集 r 组合数 生成函数计算方法 此处引入 不定方程的解...=y , 替换 : = (1 + y + y^2 + y^3) (1 + y + y^2 + y^3 + y^4) (1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5) ③ 先将前两项...x_i 对应的是多重集中的 , 指定某元素 a_i 的个数 ; ---- 不定方程解个数 x 取值范围 ( 给定一个范围 ) 该情况下 多重集的组合 问题就该退出舞台了 , 只剩下 不定方程解..., 生成函数中需要使用 y^{系数} 替代 y , 生成函数中 y^{系数} 的幂从 i 到 j ; ---- 不定方程解的题目 带限制的情况 题目 : 求方程 x_1 +

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机器学习入门 8-1 什么是多项式回归

01 多项式回归 前面介绍线性回归的时候，对数据有一个很强的假设，假设处理的数据背后存在线性关系，这就导致了线性回归模型很大的局限性，因为在实际应用场景中，具有线性关系这样强的假设的数据集相对来说还是比较少的...其实简单来说就是为样本增加了一些特征，这些特征是原来样本中某些特征的多项式项，上面为了方便仅仅引入了二次项。由于前面的例子仅仅有一个特征，因此增加的二次项特征，仅仅是这个单一特征的平方的结果。...接下来使用多项式回归的思路，也就是添加多项式特征的方式。由于例子中的样本都是单个特征的，因此引入这个特征的平方作为新的特征，新的样本不仅具有原来的单一特征，而且还具有了新的平方项特征。 ?...我们生成数据的方程和拟合的结果基本上是吻合的，当然其中会有一个偏差，这是因为我们在生成数据的过程中添加了一些噪音，在拟合的时候有可能考虑到了这些噪音，所以并不完全等于创建数据集时候的方程系数。...关键在于为原来的数据样本添加了一些新的特征，而这些新的特征是在原来样本特征的基础上相应的多项式组合的结果，采用这样添加特征的方式我们就可以解决非线性的问题。

1.3K20

距离和相似性度量在机器学习中的使用统计

作者：daniel-D 来源：http://www.cnblogs.com/daniel-D/p/3244718.html 在机器学习和数据挖掘中，我们经常需要知道个体间差异的大小，进而评价个体的相似性和类别...绿色的斜线表示欧几里得距离，在现实中是不可能的。其他三条折线表示了曼哈顿距离，这三条折线的长度是相等的。...举个例子，在一段长的序列信号 A 中寻找哪一段与短序列信号 a 最匹配，只需要将 a 从 A 信号开头逐个向后平移，每次平移做一次内积，内积最大的相似度最大。...向量和信号都是离散值，如果是连续的函数值，比如求区间[-1, 1] 两个函数之间的相似度，同样也可以得到（系数）组分，这种方法可以应用于多项式逼近连续函数，也可以用到连续函数逼近离散样本点（最小二乘问题...余弦相似度与向量的幅值无关，只与向量的方向相关，在文档相似度（TF-IDF）和图片相似性（histogram）计算上都有它的身影。

2.5K30

【组合数学】递推方程 ( 特特解示例 1 汉诺塔 完整求解过程 | 特解示例 2 特征根为 1 的情况下的特解处理 )

特解形式 : 上述递推方程左侧是 “常系数线性齐次递推方程” 形式 , 不用管 , 右侧的 1 与特解相关 , 1 为 n 的 0 次多项式 , 因此特解 H^*(n) 也是 n...的 0 次多项式 ; 2 ....构造递推方程的通解 : ( 1 ) 无重根 : 构造 c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的 通解 ; 递推方程的齐次部分通解是...求通解中的常数 : ( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k 个 k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ; 将初值 T(1) = 1 代入上述通解...1 次方程 , 出现这种问题的原因是 , 齐次部分 , 特征方程是 x-1 = 0 , 对应的的特征根是 1 , 特征根为 1 时 , 多项式的最高项会抵消掉 , 常数项也会被抵消掉 ;

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ggplot2绘制散点图配合拟合曲线和边际分布直方图

图形展示 图形解读 ❝此图使用经典的企鹅数据集进行展示，在散点图的基础上按照分组添加拟合曲线及回归方程与R,P值，后使用ggExtra添加密度曲线与数据分布直方图，使用已有R包进行绘制非常的方便，此图大概有以下几点注意事项...两者均可用于在R图形中添加平滑线或拟合线，需要选择正确的模型。它们有一些相似之处，但也有一些关键的区别。 ❞ stat_poly_line 是一个在 ggplot2 图形中添加多项式回归线的函数。...这个函数直接计算多项式回归模型，并将拟合线添加到图形上。它允许指定多项式的阶数，即回归方程中最高次项的次数。可直接在图形上添加拟合线，而不是基于数据点的平滑。...geom_smooth是一个更通用的函数，用于在 ggplot2 图形中添加平滑曲线或拟合线。它支持多种平滑方法，包括局部回归（loess）、光滑样条（smooth spline）和线性模型。...回归方程的添加 ❝stat_poly_eq:用于添加多项式回归方程和相关统计量(如 R2、p 值等)的标签。这个函数不仅仅限于线 性回归，还可以用于更高阶的多项式回归。

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