官网网址：https://www.cgal.org/ CGAL，提供了计算几何相关的数据结构和算法，如： （1）三角剖分。...该算法可以在多边形数最少的情况下得到结果，也可以在凸块数不超过最优凸块数四倍的情况下得到近似结果，但它们在运行时的复杂性有所不同。...[带洞多边形拓扑规定]一个有洞的二维多边形称之为外轮廓，在其有界区域内有零个或多个轮廓，称为内轮廓或洞或孔。外轮廓的有界区域与内轮廓的无界区域的交点是带孔多边形的内部。...任何CGAL三角剖分都覆盖其顶点的凸包。三角形是增量构建的，可以通过插入或删除顶点进行修改。包提供了简单的三角剖分(其面取决于顶点的插入顺序)和Delaunay三角剖分。...在后一种情况下，数据结构允许检索任意alpha值的alpha复合体、关键alpha值的整个频谱以及三角剖分面上的筛选。
凸多边形的三角剖分是指将一个凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合。...例如图4-56的一个三角剖分是{ v0v4，v1v3，v1v4}，另一个三角剖分是{ v0v2，v0v3，v0v4}，一个凸多边形的三角剖分有很多种。 ?...一个凸多边形的三角剖分有很多种，最优三角剖分就是划分的各三角形上权函数之和最小的三角剖分。...最优三角剖分的各三角形权值之和实际上是凸多边形周长+2倍的弦值之和，在周长一定的情况下，各三角形权值之和最小，弦值之和一定最小，因此该问题可以归结为凸多边形的最优三角剖分问题。...先求只有三个顶点凸多边形三角剖分的最优值，再求四个顶点凸多边形三角剖分的最优值，…，一直到n个顶点凸多边形三角剖分的最优值。 4.构造最优解。
拆分为三角形的过程被称为三角剖分，常用的三角剖分算法是耳切法（Ear Clipping），比较成熟的方案是Mapbox的earcut，对于有 公式 个顶点的多边形，其时间复杂度为 公式 ，值得注意的是，...三角剖分的解可能是不唯一的，任何一种剖分方式都能够渲染得到面，但细小的三角形更容易使面中的同一像素绘制多次，造成过度绘制(Overdraw)，因此根据多边形特征做一些剖分次序的调整可以作为一个优化点。...从下图四个顶点构成的非简单多边形的三角剖分结果可以看到，多边形渲染时会丢失顶点并且产生错误的三角形，无法还原数据真实情况。...[ee31e72b5ea5461f93f2eed5c910d845~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image] 按照这种想法对现有数据进行了边的相交检测，确实存在一小部分的多边形不是简单多边形...2、根据多边形计算外接矩形，减少细节 3、根据三角剖分结果剔除多余顶点，重新生成简单多边形 以上三个方案对于多边形的细节保留由少到多，但并不是完全还原真实数据。
三角形和三角剖分 在图形学中三角形的重要性已经没有必要去描述了。它的质性简单，可以让显卡的插值器更加简单高效的工作。...我们管这个过程叫三角剖分，可见三角剖分是联系复杂多边形和三角形之间的桥梁。 复杂的多边形 如何定义多边形？在计算几何里面也是一个比较麻烦的问题，常见的多边形可以是下图这样的。...对上面这个多边形进行硬件加速渲染，就需要对它进行三角剖分，如下图红色虚线构成的三角形网格。 这里有一个问题，类似于圆这样的“多边形”应该如何处理？...利用给定的线宽并沿着直线的法线方向（一条直线有两个法线方向，互为相反向量）进行偏移。就可以得到一个矩形，对这个矩形进行剖分就可以得到由 2 个三角形组成的三角网格。...下图描述了如何剔除矩形之间的堆叠，只需要执行一次线扫描算法即可。 同样矩形非常容易就可以剖分成三角形，并不需要使用复杂的三角剖分的算法。所以可以快速构建对二维区域的描述。
今天对计算几何中的Voronoi多边形（即泰森多边形）和Delaunay三角剖分进行了学习，整理资料如下（摘自百度百科）。...用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。如图，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。...定义 Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。...要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。...如下图所示： 2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。
该图的核心算法就是 Delaunay三角剖分. 这种低多边形的成像效果在现代游戏设计中越来越被喜欢，其中的低多边形都是由三角形组成的。于是我们来学习一下....所以Delaunay三角剖分其实并不是一种算法，它只是给出了一个好的三角剖分的定义 为了方便，除非特别声明，否则下文提及的三角剖分指的就是 Delaunay三角剖分 三角剖分和其他问题的联系....所以我们只需要遍历 V 中所有点集，对每个点执行一次上面的程序，得到一个Voronoi图 的多边形即可. 这里顺便说一下如何从A顺时针或者逆时针获取相邻的三角形....然后进一步就得到了 Voronoi图 的一个多边形. 最后，我们来研究一下 三角剖分 的具体算法. 因为前面说了，三角剖分 并不是一个实际的算法，而仅仅是一个较美的三角剖分的定义而已....最后对D点进行分析，它在三角形ABC和三角形BCR的外接圆内，所以应删除公共边BC，再用D点与这两个三角形的其他边形成子三角形。
大部分前端开发者在使用这些很方便的方法时，可能并没有思考过 hover 背后的实现原理。...WebGL 中只有点、线段、三角形三种基本图元，所有视觉可见的形状都是以这三种图元组成。其实主要是三角形，包括绝大多数的线和点也是由三角形组成。...射线法可以适用于任意多边形，包括有洞（hole）的多边形，具体的推导过程就不贴了，感兴趣的话可以自己查一下相关资料。 射线法涉及以下三个问题： 如何获取多边形的各条边的端坐标？...），如下： [v1,v2,v3,v4,v5,v6] 前端拿到顶点数组后需要使用三角剖分算法将其切割成4个三角形，最后才给到 WebGL 绘制。...当然也不排除有的技术团队在数据制备阶段就进行了三角剖分，但这么干的比较少，因为剖分后数据量会增长很多，会带来额外的存储成本和网络通信耗时。 如果多边形的某条边是曲线怎么办？ 这是一个伪命题。
（此点不一定在多边形内部），然后将平面多边形进行三角剖分, 然后平面多边形的面积就等于剖分出来的三角形的面积之和. ?...正确的姿势应该是首先将n个顶点的多边形（可以凸，可以凹）剖分成 n 个三角形. 例如下图 ?...三维多面体的体积和重心 有了前面多边形的面积和重心的学习，我们立刻知道了，要考虑三维多面体的体积（确切讲，是有向体积）和重心，同样是三角剖分，当然，既然到了三维空间，所谓的三角 指的就是四面体，而非三角形了...受平面多边形的三角剖分启发，可以选定空间中任意一点 O 作为所有四面体的一个顶点——当然，你可以选择 O 为坐标原点，这样的好处是 4 阶行列式蜕化为 3 阶的行列式....但是这样的话，剖分出来的是底面为平面多边形（可能不是三角形）的多棱锥. 例如下图是五棱锥 O-ABCDE ? 所以要进一步将平面多边形（上图中的 ABCDE） 做三角剖分.
从D8算法可以看出，ArcGIS的水文分析工具是依赖无凹陷的DEM地形的，所以在分析之前都必须对DEM数据进行检查。...泰森多边形是对空间平面的一种剖分，其特点是多边形内的任何位置离该多边形的样点（如居民点）的距离最近，离相邻多边形内样点的距离远，且每个多边形内含且仅包含一个样点。...由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。 ? 也就是我们常说的Voronoi图，百度讲的也比较清楚。...狄洛尼三角网是在所有可能的三角网中,Delaunay 三角网在离散点均匀分布的情况下能够避免产生有过小锐角的三角形。...文中只提到了一些常用的GIS相关的算法，博主会在之后对这些相关算法的源码进行公布，欢迎评论或后台留言！
而大的凹凸，比如地面上的障碍物、地面的深坑，这些都是偏移量过大的无效数据。 最小二乘拟合，旨在照顾所有人的想法，对所有数据进行拟合，在无效数据多且偏移量大的情况下，拟合效果不好。...那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件： 1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。 2.没有相交边。...定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分 Voronoi图和Delaunay三角剖分的对偶关系：Voronoi图的一个顶点同时属于三个Voronoi...连接三个共点的Voronoi多边形分别对应的三个节点（种子点）则形成一个Delaunay三角形，所有这样的三角形的集合就是著名的Delaunay三角剖分如右图所示。 ?...Voronoi图的定义 ? Delaunay三角剖分定义 目录 五.
在这些情况下，基于三角剖分的图形可能非常有用。如果我们不从笛卡尔坐标或极坐标网格中均匀抽取，而是随机抽取一组的话，会如何呢？...') ax.plot_trisurf(x, y, z, cmap='viridis', edgecolor='none'); 结果当然不像用网格绘制时那样干净，但这种三角剖分的灵活性...(theta)) y = np.ravel(r * np.sin(theta)) z = np.ravel(w * np.sin(phi)) 最后，为了绘制对象，我们必须确保三角剖分是正确的。...执行此操作的最佳方法是，在底层参数化中定义三角剖分，然后让 Matplotlib 将此三角剖分投影到莫比乌斯条带的三维空间中。...这可以通过以下方式完成： # 在底层参数化中进行三角剖分 from matplotlib.tri import Triangulation tri = Triangulation(np.ravel(w)
师兄：先说说点集的三角剖分（Triangulation）吧，对数值分析以及图形学来说，三角剖分都是极为重要的一项预处理技术。...而Delaunay 三角剖分是一种常用的三角剖分的方法，这个方法比较常见，关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关，如Voronoi图，当然这些很复杂了。...你看下面这个图，左侧就是不满足Delaunay 三角剖分，右侧是Delaunay 三角剖分的结果。 ?...因为大多数表面法线估计方法得到的法线，即使是在锐利的边缘之间也是平滑的过渡。因为不是所有的法线估计方法都能保证法线的方向一致。通常情况下，设置为false对大多数数据集有效。...编程练习 给定输入点云，结合之前的内容对点云进行滤波、平滑，并计算法线，最后用贪心投影三角化方法进行网格化，显示出网格化结果。 如果代码正确，网格化结果大概如下所示。尝试调整一下参数，看看有什么变化。
2.算法分析与设计 Voronoi 图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。生成 V 图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。...2.1 方法和步骤 本次实验采用的是 Delaunay 三角剖分算法。...（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。 Delaunay 剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。...关键步骤 2 如下图所示： 步骤 3 的局部优化的准则指的是： 对新形成的三角形进行优化，将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。 以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。...： 步骤一：构造一个超级三角形，O（1）； 步骤二：产找影响的三角形，构造新的三角形， O（1+2+…+n）=O(n^2) 步骤三：对新形成的三角形进行优化局部优化：O(n)。
二、算法分析与设计 Voronoi图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。...1.建立Voronoi图方法和步骤 本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。...（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。 Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。...关键步骤2如下图所示： image.png 步骤3的局部优化的准则指的是： 1.对新形成的三角形进行优化，将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。...（1+2+…+n）=O(n^2) 步骤三：对新形成的三角形进行优化局部优化：O(n)。
计算机课初步：三角形面积，三点顺序等等。 学会计算简单程序的时间复杂度和空间复杂度。 二分查找、贪心算法经典算法。 简单的排序算法：冒泡排序法、插入排序法。 高等数学。...图论：图的存储、欧拉回路的判定、单源最短路Bellman-Ford算法及Dijkstra算法、最小生成树Kruskal算法及Prim算法。 学会使用C语言进行网络编程与多线程编程。...学习使用C/C++连接数据库、学习一种C++的开发框架来编写一些窗体程序（如MFC、Qt）。...计算几何：多边形间并蹱点对、凸多边形间对蹱点对、四边形剖分、三角剖分、凸多边形最小周长外接矩形、凸多边形最小面积外接矩形、凸多边形间最小距离、凸多边形直径、凸多边形的宽度等各种旋转卡壳相关算法、最小覆盖圆...大三以后： 选择自己感兴趣的方向进行研究，参加ACM-ICPC竞赛的队员，需要全面学习和集训。
趣题：不用三角函数求出∠BAC的度数 趣题：如何在数据库中秘密地查询隐私数据 趣题：设计多边形围墙使得对于某一观察点所有的墙都不完全可见 趣题：不用乘法实现 (1 + x + x^2 + x^4) mod...如果对Heron公式求导的话 趣题：只用一把带有两条平行边的直尺作图 用抛物线筛选质数 UyHiP趣题：按照盒子的三边长之和来计费有没有漏洞？...祝所有网友节日快乐 （组图）模式、分形与混沌：数学无处不在 趣题：用一副七巧板拼出带有三个洞的图形 实分析中的反例（上） 数学小游戏：原创字谜几则 趣题：理想模型下的排序算法（下） 史上最牛诗歌：一个停机问题不可判定的证明...y的形容词 新发现的一些有趣的anagram 一个与矩形剖分有关的命题（三）：诡异的微积分证明 设计调查问卷的艺术：怎样才能绝对地保证个人隐私不被泄露 视频：用多米诺骨牌来解释逻辑门 一个与矩形剖分有关的命题...小心别人发现你的致命弱点 趣题：n为奇数时，正n边形的三角形剖分内有且仅有一个锐角三角形 2008年北京大学自主招生数学考题 10 Levels of Security：又一个在线解谜游戏 关于2008
利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积： 向量的数量积和向量积： （1） 向量的数量积 （1） 向量的向量积 两个向量a和b的叉积（向量积）可以被定义为： 在这里θ表示两向量之间的角夹角（...，利用三阶行列式，写成： 计算任意多边形的面积：（顶点按逆时针顺序排列） 求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的，就是把多边形分成若干个三角形，然后对每个三角形求面积，求面积，在有精度要求的情况下，...在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。...（乐队奏乐）”话说部分学生心态极好，每天就知道游戏，这次考试如此简单的题目，也是云里雾里，而且，还竟然来这么几句打油诗。好呀，老师的责任就是帮你解决问题，既然想种田，那就分你一块。...不过，任何事情都没有那么简单，你必须首先告诉我这块地到底有多少面积，如果回答正确才能真正得到这块地。发愁了吧？就是要让你知道，种地也是需要AC知识的！以后还是好好练吧...
CGAL (Computational Geometry Algorithms Library) CGAL是一套开源的C++算法库，提供了计算几何相关的数据结构和算法，诸如三角剖分（2D约束三角剖分及二维和三维...Delaunay三角剖分），Voronoi图（二维和三维的点，2D加权Voronoi图，分割Voronoi图等），多边形，多面体（布尔运算），网格生成（二维Delaunay网格生成和三维表面和体积网格生成等...CGAL功能非常强大，是我们学生做科研的必备程序库之一。 但需要较强的C++代码掌控能力，特别是基于C++ Template的开发。...安装CGAL 在Windows下，建议采用Setup.exe进行安装，因为可以设定自动下载依赖库gmp, mpfr。...采用Setup.exe默认不勾选文档，如果安装后没有文档，可下载后缀为 doc_html.zip 的压缩包解压覆盖同目录 doc_html 文件夹。
Catalan数一瞥关于Catalan，这是一个特殊的数列，可以方便求解许多问题。这里，先给出Catalan数的通项公式，再举例进行进一步的分析： 。...先分析它的递推关系：题目：在一个有 条边的多边形中，我们可以画出n-1条不相交的对角线将多边形分为n个三角形，设所有满足条件的方案数是 ，定义 ，求 、 、 。...那么，我们可以得到，每次在我们连接完一条不相交的对角线后，我们会发现，这条对角线把当前图行分割成了2部分。那我们设其中一块有 条边(这样我们就可以得到k个三角形）。...因为乘法原理，这样剖分的方案数就为 （其中 为三角形的总数量...那么不可接受的数列 就和 有n+1个+1和n-1个-1的数列是一一对应的。因为如果有n+1个+1和n-1个-1的序列出现，那么从头到尾遍历序列，一定在某一个点上（包括这个点）的前缀和大于0。
# 用三角剖分和向量操作描述并处理多边形 多边形可以定义为由三条或三条以上的线段首尾连接构成的平面图形，其中，每条线段的端点就是多边形的顶点，线段就是多边形的边。...因此，在 WebGL 中填充多边形的第一步，就是将多边形分割成多个三角形。这种将多边形分割成若干个三角形的操作，在图形学中叫做三角剖分（Triangulation）。...针对 3D 模型，WebGL 在绘制的时候，也需要使用三角剖分，而 3D 的三角剖分又被称为网格化（Meshing）。...因为 3D 模型比 2D 模型更加复杂，顶点的数量更多，所以针对复杂的 3D 模型，一般不在运行的时候进行三角剖分，而是通过设计工具把图形的三角剖分结果直接导出进行使用。...直接通过点与几何图形的数学关系来判断点是否在图形内。可以把视角放在最简单的多边形，也就是三角形上。如果要判断一个点是否在任意多边形的内部，只需要在判断之前将它进行三角剖分就可以了。
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