如何在Julia中编写任意连续分布，或者至少从一个分布中模拟采样？

在Julia中编写任意连续分布或从一个分布中模拟采样，通常涉及以下几个基础概念：

基础概念

概率分布：描述随机变量的概率特性，分为离散分布和连续分布。
概率密度函数（PDF）：对于连续分布，PDF描述了随机变量在某个区间内的概率密度。
累积分布函数（CDF）：描述了随机变量小于或等于某个值的概率。
逆变换采样法：通过CDF的逆函数生成随机样本。

类型

均匀分布
正态分布
指数分布
伽马分布
贝塔分布
自定义分布

应用场景

统计模拟：用于模拟实验数据，验证统计模型的准确性。
机器学习：在训练模型时生成训练数据。
金融建模：模拟资产价格变动、风险评估等。

示例代码

以下是一个在Julia中定义和采样自定义连续分布的示例：

using Distributions

# 定义一个自定义的连续分布
struct MyCustomDistribution <: ContinuousUnivariateDistribution
    μ::Float64
    σ::Float64
end

# 定义PDF
function pdf(d::MyCustomDistribution, x::Float64)
    return exp(-0.5 * ((x - d.μ) / d.σ)^2) / (d.σ * sqrt(2 * π))
end

# 定义CDF
function cdf(d::MyCustomDistribution, x::Float64)
    return 0.5 * (1 + erf((x - d.μ) / (d.σ * sqrt(2))))
end

# 定义逆CDF
function inv_cdf(d::MyCustomDistribution, p::Float64)
    return d.μ + d.σ * sqrt(2) * erfinv(2 * p - 1)
end

# 使用逆变换采样法生成样本
function rand(d::MyCustomDistribution)
    return inv_cdf(d, rand())
end

# 创建自定义分布实例
d = MyCustomDistribution(0.0, 1.0)

# 生成样本
samples = [rand(d) for _ in 1:1000]

# 打印样本
println(samples)