对充满变量的矩阵的行列式有没有快速算法？

对于充满变量的矩阵的行列式，一般情况下是没有快速算法的。计算行列式的常规方法是通过展开定理，将矩阵转化为代数余子式的和，然后递归计算每个代数余子式的行列式。这个过程的时间复杂度为O(n!)，其中n为矩阵的阶数。

然而，如果矩阵具有某些特殊结构或性质，可以利用这些特点来加速行列式的计算。例如，对于对角矩阵，行列式等于对角线上元素的乘积；对于三角矩阵，行列式等于对角线上元素的乘积。这些特殊情况下的行列式计算可以在O(n)的时间复杂度内完成。

在实际应用中，如果需要频繁计算行列式，可以考虑使用数值方法来近似计算行列式的值，例如利用LU分解、QR分解等数值方法。这些方法可以在一定程度上提高计算效率。

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化三角矩阵计算行列式的算法实现

Introduction 行列式(Determinant) 是矩阵的重要属性。在手动计算行列式时，我们常常使用两种方法：按行/列进行拉普拉斯展开。...利用矩阵在任意行/列加减其他行列的任意倍后行列式不变的性质，化为三角矩阵后，计算主对角线元乘积求解。前者的复杂度是 O(n!)...这样计算行列式的效率显然是极低的。而通过化三角矩阵，我们可以用 O(n^3) 的复杂度完成行列式的求解。对于同样的矩阵，我们只需要进行 1 \times 10^9 的运算。...这对于中小规模的矩阵已经足够快速了。 Prerequisites 对于矩阵 \mathbf{A}，记 \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix} 为其行列式的值。...Theory 通过性质 1，我们可以对矩阵进行变换，将其化为三角矩阵，从而通过性质 2 的方法求解行列式。先从一个具体的例子入手。

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矩阵求逆的快速算法

矩阵求逆在3D程序中很常见，主要应用于求Billboard矩阵。...按照定义的计算方法乘法运算，严重影响了性能。在需要大量Billboard矩阵运算时，矩阵求逆的优化能极大提高性能。这里要介绍的矩阵求逆算法称为全选主元高斯-约旦法。...高斯-约旦法（全选主元）求逆的步骤如下：首先，对于 k 从 0 到 n – 1 作如下几步：从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上...= k 最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。...原算法(经过高度优化) 新算法加法次数 103 61 39 乘法次数 170 116 69 需要额外空间 16 * sizeof(float) 34 * sizeof(float) 25 * sizeof

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疯子的算法总结(五) 矩阵乘法（矩阵快速幂）

学过线性代数的都知道矩阵的乘法，矩阵乘法条件第为一个矩阵的行数等与第二个矩阵的列数，乘法为第一个矩阵的第一行乘以第二个矩阵的第一列的对应元素的和作为结果矩阵的第一行第一列的元素。...我们参考快速幂，将数字的乘法换成矩阵的乘法，可以得出矩阵快速幂的代码； #include using namespace std; const int MOD=1e8+5;...{ if(k &1) ans =muti(ans,a,mod); a = muti(a,a,mod); k >>=1; } return ans; } 应用：矩阵快速幂求斐波那契数列...我们定义一个矩阵A |0 1| |1 1| 定义F(0)=0,F(1)=1。构成矩阵F矩阵|0 1| A矩阵的N次幂，乘以F矩阵的第一项就是第N个斐波那契数列。...证明： F矩阵乘以A矩阵代表将右侧元素给左侧，右侧元素等于右侧加左侧。矩阵的乘法满足结合律，所以FXX*……N……X = F (XXX……*X）所以定义不同的F矩阵可以得到不同的斐波那契数列。

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对快速排序算法的分析

开篇在实际的过程中，总需要对一些数据进行排序，在众多的排序算法中，快速排序是较为常用的排序算法之一。而网上对于快速排序的中文资料还不是很全。...写这篇博文主要记录一些自己对于快速排序的了解，以及对快速排序的性能的分析。我将在这里记录下我对快速排序的认识和学习过程，用尽可能简单明了的叙述来阐述我的理解。...快速排序基于算法中很重要的思想是分治。所以会先介绍一下分治思想，然后对算法原理进行介绍，接着会分析算法的性能并对算法作进一步的讨论。 ...下面是对这个算法的分析：算法的第1行判断要排序的数组是范围是否合法，p 表示的是开始的位置， r表示的是结束的位置，所以只有p<r 才能进行排序。...实例是学习知识的最好途径！本例将描述该算法对一个包含8个元素的数组的操作过程。具体的操作过程如下图所示，函数中的变量在途中都已标出。 ?

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客户端基本不用的算法系列：矩阵快速幂

回顾在上一篇文章中，我们对快速幂算法进行了如下的分析： int qpow(int x, int n, int m) { int res = 1; while (n) {...cout << qpow(10, 3, 997) << endl; // 3 cout << qpow(10, 2, 997) << endl; // 100 return 0; } 我们的快速幂算法其实并没有真正的优化乘法效率...既然我们已经对矩阵的 matrix 的结构体做了乘法符号重载，那么我们的快速幂算法实现直接对类型做修改即可： matrix qpow(matrix x, int n) { matrix res...我们对矩阵快速幂求解斐波那契数列来做一个简单的单元测试，来查看是否满足斐波那契数列的规律。...这个我说一句实话是这样，只有在一些特殊的递推公式中才能通过矩阵相乘的方式找到通项公式。后面我会总结一下有哪些常见的递推公式可以使用矩阵快速幂来求得通项公式。

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矩阵行列式、伴随矩阵、逆矩阵计算方法与Python实现

在研究概率密度函数根据随机变量的变化而产生的变化时，也要依靠行列式进行计算，例如空间的延申会导致密度的下降。...另外，行列式还可以用来检测是否产生了退化，表示压缩扁平化（把多个点映射到同一个点）的矩阵的行列式为0，行列式为0的矩阵表示的必然是压缩扁平化，这样的矩阵肯定不存在逆矩阵。...把矩阵的某一行（或列）乘以一个标量然后加到另一行（或列）上，矩阵的行列式不变，交换任意两行（或列）后行列式的值变为相反数。...上三角矩阵和下三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，可以使用高斯消元法把任意矩阵转换成上三角矩阵然后计算行列式。...如果想自己实现全排列算法（一般不建议这样做），可以参考下面的代码。运行结果：参考代码：运行结果：

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可逆神经网络（Invertible Neural Networks）详细解析：让神经网络更加轻量化

对反向传播算法和标准残差网络比较熟悉的小伙伴，可以只看第一节：可逆神经网络。...事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微，则因变量也对新变量连续可微。...顺便提一下，flow-based Model 优化的损失函数如下：其实这里跟矩阵运算很像，矩阵可逆的条件也是矩阵的雅可比行列式不为 0，雅可比矩阵可以理解为矩阵的一阶导数。...假设可逆网络的表达式为：它的雅可比矩阵为：其行列式为 1。...1.3.4 雅可比行列式的计算其编码公式如下：其解码公式如下：为了计算雅可比矩阵，我们更直观的写成下面的编码公式：它的雅可比矩阵为：其实上面这个雅可比行列式也是1，因为这里，

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线性回归中的多重共线性与岭回归

下面从特征矩阵的角度出发，深入探究多重共线性将究竟如何影响对损失函数求解，以便深刻理解改进原理。...矩阵对应到一个纯量（scalar）,简单讲即是行列式是这一组数按照某种运算法则计算出的一个数，记为或 行列式不为零的充要条件假设特征矩阵的结构为，则一般行列式计算不会通过展开的方式...由此可见，如果对角线上的任一个元素为0，则行列式结果即为0。反之，如果对角线上的任一元素均不为0，则行列式不为0。矩阵满秩是矩阵的行列式不为0的充分必要条件。...矩阵行与行或列于列之间相互独立，其矩阵的行列式经初等变换后的对角线上没有任何元素特别接近于0，因此矩阵求得的参数向量不会对模型产生影响，对拟合结果也是较理想的。...正常值由此可见，一个矩阵如果要满秩，则要求矩阵中每个向量之间不能存在多重共线性，这也构成了线性回归算法对于特征矩阵的要求。

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Jacobian矩阵和Hessian矩阵

前言还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗？本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念，并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。...希望看过此文后，你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。在向量分析中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式....海森Hessian矩阵在数学中，海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：如果f的所有二阶导数都存在，那么f的海森矩阵即...,xn)，即H(f)为：（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式）海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。...(或称不动点算法)求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。

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【笔记】《计算机图形学》(5)——线性代数

5.3 用行列式和矩阵来运算前面说到了行列式是依照平行四边形形式对向量进行了求值，而具体来说行列式的求值在维度低的时候可以使用简单的交叉法，维度高了之后最常用的方法是拉普拉斯展开，也就是对行列式的某一行...所谓的代数余子式就是去除了对应元素的行列后，剩余元素组成的子行列式乘上正负标记棋盘得到的新的值。这个算法是递归进行的，不断递归子行列式直到可以直接求出为止 ? 矩阵的求逆同样需要用到代数余子式。...前面在4.4的时候说到过求解线性方程组的一大程序化做法就是使用克莱姆法则，通过两个行列式的比值我们可以求解出线性方程组中对应变量的值，同样我们需要注意先检查矩阵是否奇异，行列式为0的时候也就是方程组线性相关的时候将会有无穷多组解...矩阵在几何意义上是对目标向量的线性变换，也就是旋转，缩放，投影三种变换的组合，而矩阵求出来的逆矩阵的意义是对目标进行一次逆变换，也就是对其进行反向的对应变换 5.4 特征值和矩阵对角化这部分主要是特征值分解...我们知道矩阵变换的几何意义就是对目标向量进行线性变换，线性变换本质就是缩放与旋转的组合，特征值分解是对那些应用后在某个方向上只会发生缩放的变换矩阵，将矩阵拆解为【旋转-缩放-反旋转】的三个矩阵连乘状态；

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线性代数精华3——矩阵的初等变换与矩阵的秩

因为消元之后，方程组的数量少于变量的数量，我们无法解出所有的变量。其中的 ? 可以取任何值。上面这个计算的方法我们都非常熟悉，如果我们用一个矩阵来表示所有的次数，那么这个矩阵D可以写成： ?...那么，我们刚才消元的过程，其实就是对这个矩阵做初等变换。...Dt矩阵是经过初等行变换的结果，我们还可以再对它进行列变换，将它变得更简单，我们只要交换第三和第三列，之后就可以通过初等列变换把第五列消除，之后它就变成了下面这个样子： ?...我们把A矩阵的秩记作: R(A) 之前我们在介绍行列式的时候说过，行列式还存在多种性质。其中之一就是一个矩阵经过初等变换，它的行列式保持不变。...线性方程组的解的公式和计算本身其实并不重要。因为在实际的算法领域，用到的也不多。

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matlab中矩阵的秩,matlab矩阵的秩

如下所示为一方阵在 matlab 输入矩阵: A = [1 2 4; 407 9 1 3]; 2. 2 查阅 matlab help 可以知道,利用 eig 函数可以快速求解矩阵的特征值与特征……...1、单位矩阵,随机矩阵,零矩阵和对角阵 2、产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P,且求其行列式的值Hh和Hp以及它们…… 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵 2.1 变量和数据操作 2.1.1 变量与赋值...A的特征值和特征…… A= 1 7 7 2 3 5 6 8 0 原来矩阵没有第4行和第4列, MATLAB 自动增加行列数,对未输入的元素赋值0 2函数生成矩阵 MATLAB提供了一些函数来生成特殊...… 行列式的求值在MATLAB中我们只需借助函数det就可以求出行列式的值,其格式为 det (A) 其中A为n阶方阵. ? 1 ? ?1 ? 练习1 求矩阵 A ? ? ?...den 秩 1迭代公式的局限性在于: 每一次迭代都要计算 A k 的逆矩阵A-…3 数值实验与 MATLAB 程序对非线性方程组 1 3x 1 – cos( x 2 x 3 ) …… 发布者：全栈程序员栈长

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线性代数知识汇总

最近在磕 PCA 主成分分析的原理，在理解协方差矩阵的特征向量和特征值部分，对其计算的数学原理的理解上碰到了不少关于线性代数的问题，而在大学时期接触的线性代数到现在都已经忘得七七八八。...看到数学算法俱乐部的这篇线性代数总结，非常不错，作为 PCA 原理的基础知识，这里分享一下。后面有空再给大家总结一下个人在学习 PCA 主成分分析的一些理解。...算法数学之美日期：2019年5月24日正文共：2295字135图预计阅读时间：6分钟来源：king110108 1. 线性代数知识图谱线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。...简化计算总结 2.4.4 行列式的3种表示方法 2.5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立....矩阵 3.1 矩阵的定义 3.1.1 矩阵与行列式的区别 3.2 特殊矩阵 3.3 矩阵与线性变换 3.4 矩阵的运算 3.4.1 矩阵的加法 行列式与矩阵加法的比较： 3.4.2

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线性代数的历史

线性方程组的理论研究，包括无矛盾性等问题，到 19 世纪后半叶得到处理，至少部分是出于二次型和双线性型化简的动机。 2 行列式 矩阵和行列式有不同的起源。...后续又有很多问题需要用到行列式：elimination theory（找两个多项式有公共根的条件），坐标变换以简化代数表达式（例如二次型），多元积分中的变量替换，微分方程组的解，还有天体力学。...行列式理论在 19 世纪是一个充满活力又富有独立性的主题，有 2000 余篇论文。但 20 世纪之后行列式不再那么时髦，因为线性代数主要结果的证明不再依赖于行列式。...他受到他的老师魏尔斯特拉斯的深刻影响，采用了魏尔斯特拉斯式的严格性，并探求理论背后的根本性想法。他对双线性型的标准型的一般问题进行了彻底的研究。...这些著作里把复数表示为平面内的点或有向线段。1835 年哈密尔顿把复数定义为有序实数对，上面有加法、乘法和数乘。他注意到有序实数对运算有封闭性，满足交换和分配律，有零元，加法和乘法有逆元。

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matlab矩阵及其运算(三)

有流量的可以直接戳视频二狗在用matlab学习编程过程中，发现matlab中有大量矩阵运算，矩阵的知识了解不到位，在学习算法的过程中无法找到合适的解决问题的方法或者出现编程错误。...好比英语发音规则都不懂，如何说一口流利的英语？地基不牢，地动山摇。这不前两天二狗做BP算法的时候涉及到矩阵求导，这可难到二狗了，非方阵矩阵的逆矩阵怎么求？...虽然多项式的运算法则说的很简单，但比如给你个10x10的行列式你就很难算出行列式的值。怎么办？可以用降阶的办法将10X10化为2X2的不就简单了？...利用代数余子式即可将n阶行列式写成（n-1）的运算比如三阶行列式即可写成: ? 对三阶行列式的另外六项做组合还可以写成： ? ?...二狗期待各位对编程感兴趣的读者尝试一下，二狗也会在下期给出自编的求行列式值的程序。

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hesse矩阵和jacobi矩阵_安索夫矩阵和波士顿矩阵区别Jacobian矩阵和Hessian矩阵

Jacobian矩阵和Hessian矩阵发表于 2012 年 8 月 8 日 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式....雅可比行列式 如果m = n, 那么FF是从n维空间到n维空间的函数, 且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵. 于是我们可以取它的行列式, 称为雅可比行列式....在某个给定点的雅可比行列式提供了在接近该点时的表现的重要信息. 例如, 如果连续可微函数FF在pp点的雅可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理....海森Hessian矩阵在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下： 2), 最优化在最优化的问题中,...线性最优化至少可以使用单纯形法(或称不动点算法)求解, 但对于非线性优化问题, 牛顿法提供了一种求解的办法.

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标准化流 Normalization Flow

它不能容下对立的假设；高维的情况下分布也不够集中，出现边缘效应；还不能应对罕见事物。有没有更好的分布模型，可以满足如下条件呢？...于是，一个X域边长为 1 的方块转型为平行四边形，面积大小变成了 a d-b c 。这个平行四边形的面积，正是转换矩阵的行列式。...三维的情况时，“转换为平行四变形”就对应为“转换为平行六面体”，或者更高维的情况也是以此类推，“转换为平行 n 维体”。行列式的道理也还是如此，线性变换后的体积，正好对应于变换矩阵的行列式。...算法通过最大似然估计，把拟合真实数据的分布问题变成拟合变换后的概率的对数密度问题。用对数密度的原因是为了计算的稳定性。...需要说明的是，所有自回归流的模型都是建立在这样的一条理论基础上的：三角矩阵的行列式是其对角元素的乘积。

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标准化流 Normalizing Flows

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深入了解深度学习-线性代数原理(一)

开此系列文章的目的是为对深度学习感兴趣的读者带来一个平台，从入门到精通面向群体为想从基础了解深度学习的爱好者 ------ 文章不定时更新，有问题可留言共同学习，共同进步！...，通常用小写变量名称表示。...奇异值分解在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。...---- 行列式 行列式（determinant）：det(A)，是一个将方阵A映射到实数的函数，行列式等于矩阵特征值的乘积。...行列式与矩阵的区别： 行列式的本质是线性变换的放大率，而矩阵的本质就是个数表。 行列式行数=列数，矩阵不一定（行数列数都等于n的叫n阶方阵），二者的表示方式亦有区别。

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「Deep Learning」读书系列分享第二章：线性代数 | 分享总结

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