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求解三次方程

在这个问题中,我们需要求解一个三次方程。三次方程的一般形式为:ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,其中a、b、c和d是常数。

为了求解这个方程,我们可以使用卡尔丹公式(Cardano's formula)。首先,我们需要将方程标准化,即将其转换为形式为x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0的形式。这可以通过将原方程除以a来实现。接下来,我们可以使用卡尔丹公式来求解方程。

卡尔丹公式的表达式为:

x = u + v

其中,u和v是方程的两个根。我们可以使用以下公式来计算u和v:

u = -C/2 + sqrt(D/27)

v = -C/2 - sqrt(D/27)

其中,D = (Q^2/4) + (P^3/27),P = b^2 - 3ac,Q = 2(b^3 - 9abc + 27a^2d)。

需要注意的是,在计算u和v之前,我们需要检查D的值。如果D > 0,则方程有一个实根和两个共轭复数根。如果D = 0,则方程有三个实根,其中至少两个相等。如果D < 0,则方程有三个不同的实根。

在计算u和v之后,我们可以使用以下公式来计算方程的根:

x1 = u + v - b/3a

x2 = -0.5 (u + v) - b/3a + sqrt(3)/2 sqrt(u - v)

x3 = -0.5 (u + v) - b/3a - sqrt(3)/2 sqrt(u - v)

这些公式可以用来求解任何三次方程。需要注意的是,在实际应用中,我们需要对输入进行验证,以确保方程的系数不会导致除零错误或其他计算错误。

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