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微软研究院刘铁岩：AI for Science：追求人类智能最光辉的一面｜MEET 2023

第三个范式是计算范式，随着计算机的发明，人们开始有能力求解复杂的物理方程。比如，通过有限元或者有限差分方式求解流体方程，从而有助于人类对于天气预报进行精准预测。...换句话说，我们承认物理方程的解X（θ）和实际物理世界X之间存在残差ε，这个残差表达的是现有物理方程的边界，可以用实验手段观察，也可以为AI所利用，这就对应了第四范式。...形成科学发现的闭环 第一，如何用AI求解物理方程？ 传统数值解法求解物理方程的效率是一个瓶颈。近年来，人们开始利用AI模型来对物理方程进行更加高效的求解。...在这个方向上，我们团队有一些最新研究成果，如发表在NeurIPS 2021上的Graphormer模型，和发表在国际期刊《流体物理》上的Deep Vortex Net，分别在分子建模和气象模拟领域取得了国际领先的结果...这个研究中心设立的目的就是利用AI对分子动力学模拟、流体力学模拟等重要的科学计算工具来进行颠覆式创新，从而推动人类关心的重大问题的求解。

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用上傅里叶变换，很快啊，AI几秒钟就能解出偏微分方程

但在实际应用中，用计算机求解偏微分方程的难度很大，往往为了求出一个解而需要大型机器运行一个月。 并且，随着科研中遇到问题的复杂度、运算量逐渐增加，也就更需要高效快速的求解方法。...甚至连流体力学里的“老大难”：N-S方程也不在话下！ 对于简单方程的求解，这种方法只需几秒就能解出答案，而传统方法需要18个小时！...训练神经网络其实就是尽可能逼近这个函数，这和数值求解PDE本质是一样的。...2016年，人们开始研究图像识别神经网络如何用于求解PDE，用成对的生成数据来训练神经网络，比如计算平面上不同基本形状（如三角形、四边形）物体周围的空气流速场。 ?...FNO可以显著提高求解PDE的速度。在一个求解NS方程的例子中，需要3万次模拟，FNO求解时间不到一秒，DeepONet耗时2.5秒，而在这种情况下，传统的求解器需要18个小时。 ?

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动态规划(dynamic programming)

动态规划的基本思想 动态规划的基本思想在于发现和定义问题中的子问题，这里子问题可也以叫做状态；以及一个子问题到下一个子问题之间 是如何转化的 也就是状态转移方程 因此我们遇到一个问题的时候 应该想一想这个问题是否能用某种方式表示成一个小问题...-1) && (Si == Sj) } 总结起来我们可以用以下步骤去考虑一个问题如何用动态规划来解决 1、思考问题的最后一个步骤 是如何通过选择构造得到最终答案的 2、根据构造情况来发现子问题 3、看看能否确定状态转移方程...减治法减掉的部分 可以不用再求解了； 分治法每个小问题都需要进行求解； 动态规划不同的子问题间是有相互重叠的子问题的 动态规划与贪心 动态规划在于我们求解了所有子问题  虽然有些子问题最终并不能组成答案...修改一个字符（如把 a 变成 b） 2.     增加一个字符 (如 abed 变成 abedd) 3.     ...删除一个字符（如 jackbllog 变成 jackblog） 针对于 jackbllog到jackblog 只需要删除一个或增加一个 l 就可以把两个字符串变为相同。

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Wolfram|Alpha 中的分步解答数学工具帮助您学习化学课程

这个方程的形式是y=mx+b，其中m为斜率，b为y截距。 通过一个简单的方程，如y = 3x + 1，确定斜率和截距是什么将是有帮助的，因为这些值可以插入其他方程或解释以确定特定的趋势或相关性。...因此，如果你有一个摄氏度或华氏度的值，你可以通过将该值插入这个方程，然后求解另一个变量来转换为其中之一。...求解x 要想在第一堂化学课上取得成功，还需要一个重要的概念，那就是如何用逆运算来求解x。将数字和变量重新排列，以隔离x，并确定未知值，在求解不同的值，如能量、质量、体积等方面是如此重要。...这个涉及到二次函数中x的求解，它出现在平衡和缓冲问题中。给定0.0125=(x)*(x+0.1)/(3-x)，那么x是多少？...这种情况下，就必须先重新排列项，使方程等于0，然后再使用二次方程。这个问题有详细的分布解决方案： 有时，在你的作业题中可能会出现含有立方项的方程，如x^3，以及更高阶的方程。

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理解牛顿法

牛顿法不仅可以用来求解函数的极值问题，还可以用来求解方程的根，二者在本质上是一个问题，因为求解函数极值的思路是寻找导数为0的点，这就是求解方程。在本文中，我们介绍的是求解函数极值的牛顿法。...核心思想是在某点处用二次函数来近似目标函数，得到导数为0的方程，求解该方程，得到下一个迭代点。因为是用二次函数近似，因此可能会有误差，需要反复这样迭代，直到到达导数为0的点处。...实际实现时一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵，而是求解如下方程组： 求解这个线性方程组一般使用迭代法，如共轭梯度法，当然也可以使用其他算法。...求解整个问题的坐标下降法流程为（这里只列出了和牛顿法相关的步骤）： 设置各个参数的初始值 如果w还不是最优值，则循环 循环，对j = 1, 2, ..., n 求解如下问题得到牛顿方向...d： 更新参数值： 结束循环 结束循环 下面来看源代码实现。

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求二元二次方程的解

1 问题描述 本题要求对任意给定的正整数n，求方程x^2+y^2=n的全部正整数解。给定的N<=10000,如果有解请输出全部解，如果无解请输出No Solution。...，就要用两个循环来确定这个值，最后用一个条件判断语句确定两个值的范围，得出结果，也可以附加（x<=y）来减少运算结果。...而对于求无解的情况时，我们可以在前面添加一个简单的条件语句如：soul = 0，来区分两种情况。 3 实验结果与讨论 通过实验，实践等证明提出的方法是有效的，是能够解决开头提出的问题。...print((i, o)) soul = 1 if soul == 0: print("no solution") 4 结语 文章通过for循环...，if的条件判断语句，和独立的简单条件语句，完成了对二元二次方程的求解，未来可深入解决更复杂的函数求解问题。

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【算法】动态规划 ⑧ ( 动态规划特点 )

文章目录 一、动态规划特点 1、求解类型 2、方向性 3、动态规划状态选择 4、动态规划方程设计 一、动态规划特点 ---- 1、求解类型 求解类型 : 动态规划 必须是求 最值 , 可行性 , 方案数...没有可行结果 方案数 : 求一个总数 , 不求具体的方案 ; 大规模问题的结果 由 小规模问题 的计算结果 可行方案总数 2、方向性 方向性 : 动态规划 必须有 方向性 , 不能有反复 , 循环依赖...; 如 : 骑士最短路径问题 , 骑士走 " 日 " 字形 , 可以走 8 个方向 , 在该问题中 , 我们将其行走方向 固定在了右侧的四个方向 , 这样就不会出现循环依赖 ; 如 : 数字三角形..., 在三角形中 , 只能 从上向下走 , 不能向上走 , 这样避免循环依赖 ; 3、动态规划状态选择 动态规划状态选择 : 在 坐标型 动态规划中 , 直接使用 坐标的下标 来标记 相同位置的 状态...; 状态数组中存储的元素是 : 最大值 | 最小值 方案数 可行性 4、动态规划方程设计 动态规划方程设计 : 动态规划方程 , 最主要的作用是 体现出 下一步坐标状态 与 上一步坐标状态 之间的联系

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基于牛顿求根法，新算法实现并行训练和评估RNN，带来超10倍增速

尽管并行化已经在深度学习研究中得到了广泛的使用，但循环神经网络（RNN）和神经常微分方程（NeuralODE）等序列模型却尚未能完全受益于此，因为它们本身需要对序列长度执行序列式的评估。...据介绍，他们引入了一种用于求解非线性微分方程的通用框架，其做法是将这些方程重新表述为二次收敛的定点迭代问题，这相当于牛顿求根法。...现在 1 式就变成了： 2 式的左侧是一个关于 y 的线性方程，在大多数情况下，其求解难度都低于求解非线性方程。...3 式中的迭代过程涉及到评估函数 f、其雅可比矩阵和矩阵乘法，这些运算可以使用现代加速器（如 GPU 和 TPU）来并行化处理。如果能以并行方式求解线性方程，那么整个迭代过程都可利用并行计算。...解 y_i 可从这个并行扫描算子的结果的第二个元素获取。 并行化 RNN 循环神经网络（RNN）可以看作是一种离散版的 ODE。

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被誉为「教科书」，牛津大学231页博士论文全面阐述神经微分方程，Jeff Dean点赞

传统的参数化微分方程是特例，残差网络和循环网络等很多流行的神经网络架构呈现离散化。神经微分方程能够提供高容量的函数近似，在模型空间上表现出强先验，有能力处理不规则数据，还具有很高的内存效率。...此外，这篇论文还涉及了其他一些主题，比如用于动力学系统的符号回归（如通过正则化演化）、深度隐式模型（如深度均衡模型、可微优化）。...神经常微分方程 目前最常见的神经微分方程是一种神经常微分方程（neural ODE）： 通常这个方程需要考虑两方面的问题：(1) 方程解是否存在且唯一；(2) 评估与训练。...神经受控微分方程 第三章论文从循环神经网络的连续时间限制的角度介绍了神经受控微分方程。这对于研究 RNN 或时间序列的人来说非常有用；也适合路径理论、控制理论或强化学习的研究者阅读。...可逆微分方程求解器：如第 3 章所述，CDE 可以简化为 ODE，并且相应地可以应用于任何可逆 ODE 求解器。同时 SDE 有一个已知的可逆求解器，即可逆 Heun 方法。

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2200星的开源SciML

我想用这篇文章做的是通过解释一些事情来介绍这个组织： SciML 提供的软件 我们提供一流的工具来求解微分方程 我们将继续以DifferentialEquations.jl作为组织的核心，以支持对科学模型中出现的微分方程进行高性能求解...） 随着继续向新领域推进，如随机延迟微分方程、分数微分方程等。...常用 C/Fortran 方法的包装器，如日晷和 Hairer 的 radau BigFloats 和 Arbfloats 的任意精度 任意数组类型，允许求解矩阵和分布式数组上的微分方程 我们计划继续研究这些主题...出于这个原因，SciML OSS 组织的目标是成为开发强大的跨语言科学机器学习软件的中心。...为了实现这一目标，我们作为一个组织致力于以下原则： 我们构建的一切都与自动微分兼容 将 SciML 组中的任意一段代码放入某个机器学习库（如Flux ）的训练循环中自然会起作用。

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赠书 | 算力时代，用 Python 来快速解决复杂问题

求数a的平方根，即相当于求下面2次方程式中x的值。 x²- a=0 解该方程式的方法虽然有很多，这里我们将考虑采用2分法（bisection method）求解。以下就是2分法的解题思路。...现假设方程的一个解为x1，在x1的周围，考虑一下函数f(x)=x²-a的值是如何分布的。如，设a=2，在x1＞0的一侧，函数f(x)如图1.1所示。 ?...14:answer = solve(equation) # 解方程式 15:print(answer) # 输出结果 16:# solve.py结束 下面内容即为solve.py程序中设定方程式并求解的过程...x³+2x²-5x-6=0 求解该方程式，如下面第14行内容，仅仅使用了solve()给出命令而已。...如，列表1.3的solve.py程序，会用到sympy这个模块，为此，需要安装sympy模块。 这种情况也可以单独安装个别模块。

92720

VBA: 最优化算法（二分法、黄金分割法、循环迭代法）的代码实现

文章背景：在工程计算中，经常会遇到求解一元非线性方程的问题，如给定一个区间，求解非线性方程的根，或者求最值（最大值或最小值）。下面介绍三种比较简单的算法。...（1）二分法 （2）黄金分割法 （3）循环迭代法 （1）二分法 对于一元非线性方程f(x)=0，如果已经知道在区间[a,b]内，方程存在零点，可以采用二分法得到x的近似解。...+ b) / 2, 2) End Function 示例： =Bisection(0,6,"x^3+x-17") 2.44 （2）黄金分割法 对于一元函数f(x)，如果已知在区间[a,b]内，方程存在最小值...对于可以转化为x=f(x)形式的一元非线性方程，有时可以采用循环迭代法，得到x的近似解。...循环迭代法求解的程序框图如下： 循环迭代法的代码实现：（function） Function Iteration(x As Double, fxn As String) As Double

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内点法初探——线性规划标准形式下的求解思路

在求解线性规划问题时，可以将上述的一般形式通过某种变化（如引入松弛变量等）转换成标准形式： 其中 本文主要讨论利用内点法求解线性规划标准形的过程。...通常通过消去 来求解方程，从第一个等式可得 带入第二个方程得 综上，使用barrier method求解标准形的线性规划问题的步骤可以整理如下： step1: 初始化 和可行点 step2...: 根据 求解 step3: 根据 求解 step4: 更新 step5: 判断 是否成立，若成立，则退出循环，输出 ，否则执行step6 step6: 更新...求解HLF模型需要满足以下5个条件： 对应残差为 搜索更新方向为 写成方程组形式 代入 和 得 定义 通过求解 和 来计算 综上，使用mosek求解标准形的线性规划问题的步骤可以整理如下...： step1: 初始化 for k = 1,2, ... step2: 计算 ，如果 则输出 ，如果 且 ，则表示该线性规划无解，退出循环。

70310

算法修炼之筑基篇——筑基二层中期（讨论一下如何解决动态方程问题，没时间了，快快快看一下）

定义状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。这个转移方程描述了问题的最优解与子问题的最优解之间的关系。 3....根据问题的需要，选择合适的数组类型（如int、long long等）和大小。 初始化数组：根据问题的具体要求，对数组进行初始化。...状态转移方程的实现：根据问题的状态转移方程，使用循环结构（如for循环）遍历数组，逐个计算每个状态的值。注意循环的起始位置和结束条件。...边界情况的处理：某些情况下，需要特别处理边界状态的值，例如将边界状态初始化为已知的值，或者单独处理边界状态的转移方程。 循环顺序的选择：根据问题的性质，选择合适的循环顺序。...递推计算：熟悉利用状态转移方程进行递推计算的方法，通过保存子问题的解来避免重复计算。 求解原问题：掌握如何根据子问题的解或最终状态的值，求解原问题的最优解。

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【机器学习】向量化计算 -- 机器学习路上必经路

该文章收录专栏 ✨— 机器学习 —✨ 专栏内容 ✨— 【机器学习】浅谈正规方程法&梯度下降 —✨ ✨— 【机器学习】梯度下降之数据标准化 —✨ ✨— 【机器学习】logistic分类回归算法...—✨ ✨— 第十届“泰迪杯“感谢学习总结—✨ 【机器学习】向量化计算 ---机器学习路上必经路 一、求解矩阵 二、例一 三、例二 四、写在最后 一、求解矩阵 在求解矩阵中，往往有很多很好的，经过高度优化的线性代数库...，如octave，matlib，python numpy, c++,java....阅读本文内容（需要一点点线性代数的知识） 二、例一 例如 求公式： h(x) = \sum_{i=1}^n\theta_i*x_i 我们可以通过循环每一个值来求 每一个 所对应的结果，但此时循环的时间复杂度为...， 我们可以把 看为 维的列向量， 作为 维的列向量，则原公式即为求两个向量的内积 来求得方程，这样在numpy中仅仅需要一行代码。

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8种用Python实现线性回归的方法，究竟哪个方法最高效？

那么，如何用Python来实现线性回归呢？ 由于机器学习库scikit-learn的广泛流行，常用的方法是从该库中调用linear_model来拟合数据。...这个强大的函数来自scipy.optimize模块，可以通过最小二乘最小化将任意的用户自定义函数拟合到数据集上。 对于简单的线性回归来说，可以只写一个线性的mx + c函数并调用这个估计函数。...在该方法中，通过计算欧几里德2-范数||b-ax||2最小化的向量x来求解等式ax = b。 该方程可能有无数解、唯一解或无解。如果a是方阵且满秩，则x（四舍五入）是方程的“精确”解。...方法六和七：使用矩阵的逆求解析解 对于条件良好的线性回归问题（其中，至少满足数据点个数>特征数量），系数求解等价于存在一个简单的闭式矩阵解，使得最小二乘最小化。...当然，对于现实世界中的问题，它可能被交叉验证和正则化的算法如Lasso回归和Ridge回归所取代，而不被过多使用，但是这些高级函数的核心正是这个模型本身。

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SVM 数学描述的推导

目前的情况来看，分类器A和B都可以做到完全划分，其效果是相同的，但假设我们再添加一个点，这个点是否仍然可以被 A、B 正确分类呢？...而这个真正的最优解对应的两侧虚线所穿过的样本点，就是SVM中的支持样本点，称为”支持向量”。 3. SVM 的优缺点 3.1....超平面决策面方程推导 这样，我们推导出了 n 维坐标系内决策面方程，我们称之为“超平面方程”。 5....分类间隔方程推导 根据本文开头的描述可知，分类效果最好的超平面是分类间隔 2d 最大的超平面，我们已经成功将问题推导为求解当 d 取最大值时 ω 的取值。 6....通过一些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件。 那么如何用拉格朗日函数与 KKT 条件求解我们的目标函数呢？敬请关注下一篇文章。 9. 参考资料 《机器学习实战》。

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拜托，别再问我贪心算法了！

举个简单的例子，比如给定某个数字的金额（如 250）与 100, 50, 10, 5, 1 这些纸币（不限量），怎么能用最少张的纸币来兑换这张金额呢，显然每次兑换应该先从大额的纸币兑换起，第一次选 100...* 如果 pre 区间的终点大于 cur 区间的起点，代表两区间重叠，cur 指向后一个区间，即 cur = cur + 1 * 代表 cur 被移除，所以需要加1（代表这个区间被移除了...可以看到和采用递归+备忘录的时间复杂度一样，不过之前其实说了很多次，递归容易导致栈溢出，所以建议还是采用动态规划的方式来求解。 接下来重点来了，来看看如何用贪心算法来求解。...再看三角形最短路径和是否能用贪心算法求解 回过头来看开头的问题，三角形最短路径和能否用贪心算法求解呢 先回顾一下这个题目: ?...如图示，以上三角形由一连串的数字构成，要求从顶点 2 开始走到最底下边的最短路径，每次只能向当前节点下面的两个节点走，如 3 可以向 6 或 5 走，不能直接走到 7。 ?

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动态规划入门

动态规划解决问题的过程分为两步： 寻找状态转移方程 利用状态转移方程式自底向上求解问题 找出来以下三点，题目就完成了80%： 状态表示：如何用数组表示实际问题 状态转移：如何由已知状态表示未知状态 状态边界...可以简单得到，这个算法复杂度为 O(N)。 动态规划 虽然到上面一步已经实现了时间复杂度的优化，但还算不上真正的动态规划。...前面提到： 动态规划解决问题的过程分为两步： 寻找状态转移方程 利用状态转移方程式自底向上求解问题 我们继续尝试自下而上迭代计算结果，由于每一次步的结果只依赖于之前的两个状态，所以我们只用推导新的状态。...基本思想 基本思想是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。...总结 在利用动态规划求解问题的过程中，比较难的是找到状态转移方程，当前项和前两项的关系。 当然例题也只是最简单的动态规划，是一道板子题。

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