数值计算方法 Chapter2. 数值微分和数值积分 1. 数值微分 1. 基础方法 2. 插值型数值微分 2. 数值积分 1. 插值型数值积分 2. Newton-Cotes积分 1....复化数值积分 1. 复化梯形积分 2. 复化Simpson积分 3. Romberg积分 1. 数值微分 1. 基础方法 数值微分本质上就是通过离散点来对未知的函数方程进行微分的数值求解。...frac{f(x+h) - f(x)}{h} f′(x)=limh→0hf(x+h)−f(x) 因此，只要给出的离散点足够密集，我们就可以通过直接求解的方法进行微分的数值求解...插值型数值微分 不过，如果离散点不够密集，那么使用上述方式进行的微分估计事实上会带来比较大的误差，因此，我们需要对其进行一下调整，此时一种比较直接的方式就是我们先用一个插值函数来对曲线进行拟合，然后再求取插值函数的微分结果作为目标函数的微分结果...数值积分 1. 插值型数值积分 插值型数值积分和上述插值型数值微分的思路是完全一致的，就是用插值函数来拟合未知曲线，然后用这个插值函数在对应空间上的积分值来近似未知函数的积分值。
DDA算法，是计算机图形学中一种基于直线的微分方程来生成直线的方法，由于有浮点数运算与取整，该算法不利于硬件实现。 其主要思想是由直线公式y = kx + b推导出来的。...C++代码： #include #include #include //数值微分法 using namespace std; float
简介 自动微分（Automatic Differentiation，简称AD）也称自动求导，算法能够计算可导函数在某点处的导数值的计算，是反向传播算法的一般化。...对于编程计算目标函数的导数值，目前有4种方法：手动微分，数值微分，符号微分，以及自动微分，在接下来会分别进行介绍。...自动微分 自动微分是介于符号微分和数值微分之间的一种方法：数值微分一开始就代入数值近似求解；符号微分直接对表达式进行推导，最后才代入自变量的值得到最终解。...自动微分将符号微分应用于最基本的运算（或称原子操作），如常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等基本函数，代入自变量的值得到其导数值，作为中间结果进行保留。...自动微分的灵活强，可实现完全向用户隐藏求导过程，由于它只对基本函数或常数运用符号微分法则，因此可以灵活地结合编程语言的循环、分支等结构，根据链式法则，借助于计算图计算出任意复杂函数的导数值。
参考 http://pytorch123.com/ Tensor.requires_grad = True 记录对Tensor的所有操作，后序.backward() 自动计算所有梯度到 .grad 属性
理查森外推法( Richardson extrapolation)是一种提高某些数值过程精度的简单方法，在数值方法中广泛应用。...对于 等公式可将其抽象概括为 其中 为待求数值，结果依赖于参数 。 表示 的近似值， 是误差。...此处参见前文 数值微分|有限差分法的误差分析
在数值积分推导辛普森公式时就是将函数插值成为多项式形式，原因在于多项式的简洁。任何初等函数都可以用泰勒公式展开成多项式的形式，然后在多项式的基础上作求导运算。
为了解决这个矛盾，我们可以采取以下措施： 1 使用双精度浮点数运算 2 采用精确度至少为 的有限差分公式 例如，用中心差分法计算 在 处的二阶导数。...取不同的 值以及精度为 和 ，手算结果见下表 精确值为 。精度为 时， 的最佳值为0.08。由于截断和舍入错误的共同影响，三位有效数字丢失。...精度为 时，结果精确到四位有效数字。这是因为额外的精度降低了舍入误差。最佳 约为0.02。
附加Tutorial-i386.exe进程后,我们点击教程的下一步按钮，接着继续第二关，第二关的作用还是很简单的，主要目的是遍历出我们想要的动态数据，比如角色的生命，人物的魔法等，都会用到精确扫描，可以说这一关是既简单又实用的东西...，也是今后制作中最常用的环节，接着我们看下Tutorial-i386.exe程序对这一关通关流程的描述: 步骤 2: 精确值扫描 (密码=090453) 现在你已经在 Cheat Engine 中打开了训练程序...要进入下一关，你必须找到这个数值并把它改成 1000 。...很多方法都可以找到这个数值的位置，但我将告诉你一个最简单的方法，"精确数值"扫描： 上面的简单描述的意思就是,需要将100这个数值修改为1000则本关就算通过，看下面具体的步骤 1.首先游戏规则是每次我们点击打我按钮则健康值则会减一...现在开始搜索精确数值 100 数值中输入100 点击 首次扫描 按钮 默认情况下一般游戏就是4字节，这里不需要改动扫描类型和数值类型，默认就好了.
本关是CE修改器的第一关，用户需要通过 Cheat Engine 工具完成精确扫描值。在这个练习中，需要将一个特定的数值（健康值）改变为 1000。...首先，要确保数值类型设置正确，默认的是2字节或4字节。接着，选择“精确数值”扫描类型，将健康值填入数值输入框中，点击“首次扫描”。...接着，双击下方地址列表中的数值（或者选择它，按下回车），填写你要修改的数值1000。如果操作正确，"下一步"按钮将变成可点击的状态，本关就算完成了。...尽管有各种不同的方法都能找到生命值的内存地址，但是我会告诉你最简单的那个方法：首先，将 扫描类型 设置为 精确数值接着，把 数值类型 设置为 4 字节然后，在上方的输入框填入当前 生命值 的数值，并点击...双击这个地址，它会出现在窗口下面的列表里，你还能看到它当前的数值，然后双击这个数值，（或者选中并按下回车键），把数值修改成 1000 如果操作正确，"下一步" 按钮就会变成激活的状态。
的中心差分法(Central Finite Difference Approximations )，
技术背景 当前主流的深度学习框架，除了能够便捷高效的搭建机器学习的模型之外，其自动并行和自动微分等功能还为其他领域的科学计算带来了模式的变革。...本文我们将探索如何用MindSpore去实现一个多维的自动微分，并且得到该多元函数的雅可比矩阵。...初步尝试Grad自动微分 我们先按照上一章节中的公式的基本内容，直接写一个Net函数用于表示z，然后再用grad函数对其进行微分，代码内容如下所示： from mindspore import nn,...尝试扩维输入的自动微分 在MindSpore中提供了BroadcastTo这样的接口，可以自动的在扩展维度填充待扩展张量的元素，我们需要把x的最外层维度扩展到与参数y一致，在这个案例中就是3*3的维度，...] [2. 2. 2.]] ''' 从这个输出结果中我们发现，虽然维度上是被扩展成功了，但是那些本该为0的位置却出现了非0元素，这说明在自动微分计算的过程中，我们输入的参数y也被自动的Broadcast
技术背景 自动微分技术，在各大深度学习框架里面得到了广泛的应用。但是其实究其原理，就是一个简单的链式法则。要实现一个自动微分框架是非常容易的事情，难的是高阶的自动微分和端到端的自动微分。...这篇文章主要介绍一阶自动微分的基础Python实现，以及一些简单的测试案例。...我们先用一些现成的自动微分框架，如MindSpore，来演示一下自动微分的基本用法： import numpy as np from mindspore import grad, Tensor from...self, x): """计算正弦值""" return np.sin(x) def __grad__(self, x): """计算正弦函数的导数值...虽然每个框架所使用的自动微分的原理不尽相同，但大致都是基于链式法则计算结合图计算的一些优化。如果是自己动手来手搓一个自动微分框架的话，大致就只能实现一下一阶的链式法则的自动微分。
中心差分法详见： 数值微分|中心差分法(Central Finite Difference Approximations) 求区间端点的导数时,不能用中心差分法。
Scipy 的 integrate 模块的 odeint 函数可以用来以数值积分法求解常微分方程。...x轴负方向延伸 xp = np.linspace(x0, x0+2, 100) # 初值处向x轴正方向延伸 yn = integrate.odeint(f_np, y0, xn) # 数值积分法求解常微分方程...，负方向积分 yp = integrate.odeint(f_np, y0, xp) # 数值积分法求解常微分方程，正方向积分 fig, ax = plt.subplots(1,
如何用matlab来求解简单的微分方程？举例来说明吧。 求解三阶常微分方程。我们知道，求解高阶常微分方程可以化为求解一阶常微分方程组。...编写函数eq3.m： %解常微分方程 3*y'''+5*y''+6*sin(t)*y=cost function ydot = eq3(t,y) ydot=[y(2);y(3);(cos(t)-5*y...接着，编写主函数如下： %解常微分方程 3*y'''+5*y''+6*sin(t)*y=cost [t23,y23]=ode23(@eq3,[0,5],[0,1,3]) [0,5]表示自变量（这里是t...如图： 二阶常微分方程 编写函数eq2.m function ydot= eq2(t,y) ydot=[y(2);-3-cos(2*t) + 2*sin(t)+t-3.8]; 主函数 clc...求解微分方程，以上matlab内部用的是欧拉折现法，或者是单步法的改进，得不到一个解析解。那么如何求带初值问题的解析解呢？
数值计算方法 Chapter8. 常微分方程的数值解 0. 问题描述 1. Euler公式 1. 向前Euler公式 2. 向后Euler公式 3. 梯形公式 2....常微分方程组的数值解法 1. 一阶常微分方程组的数值解法 2. 高阶微分方程数值方法 0....梯形公式 梯形公式本质上依然还是基于微分差商，不过不同于之前直接使用微分的形式，这里更加严格的使用了积分的表达，即： y_{n+1} = y_n + \int_{x_{n}}^{x_{n+1}}f(x,...常微分方程组的数值解法 1....高阶微分方程数值方法 这里，我们再来考察一下一元高阶微分方程的数值解法。
Matlab 解常微分方程的初值问题 题目：Matlab 解常微分方程的初值问题 设计目的： 1、熟练掌握Matlab的基本编程方法，及其编程风格。 2、熟练掌握Matlab常用函数的使用。...4、通过计算机数值求解的方式来加深微分方程解的理解。...5、熟悉初等方法可获得解析解之外的数值近似解的求解方法，提 高对差分格式的认识和离散化分析问题的技巧，加深对理论课程的学习和理解，为数学专业和信息与计算科学专业其他后继课程的学习打好基础。...设计内容： 已知一个三阶微分方程:，利用matlab软件求这个三阶微分方程在初值 下的解。 原三阶微分方程可化为： 令 则原三阶微分方程可化为微分方程组 在初值 下的解。...此次利用matlab数值方法来求解微分方程主要是把求解的时间划分成有限步，对应于每一步将计算出一个解，如果求得的解不满足误差限制，则减少步长，再求解。如此重复，直到满足误差限为止。
常见的梯度求解方法包括：数值微分（Numerical Differentiation）、符号微分（Symbolic Differentiation）和自动微分（Automatic Differentiation...舍入误差是指运算得到的精确值无法被计算机存储，只能以近似值代替产生的差异。例如，当实数 超过了双精度浮点数可以表示的范围之后，计算机无法精确表示 ，而只能以其近似值 代替，就产生了舍入误差。...自动微分 自动微分是一种“原子化”的符号微分，其将一个复杂的数学运算过程分解为一系列简单的基本算子，如对数函数、三角函数等，然后对这些基本算子进行符号微分得到中间结果，再应用于整个函数。...接下来，我们以三层全连接层神经网络为例，解释自动微分机制。...总结 链式法则+反向传播+有向图拓扑结构，构成了自动微分机制的基础。
学习目标 掌握梯度计算 自动微分（Autograd）模块对张量做了进一步的封装，具有自动求导功能。...自动微分模块是构成神经网络训练的必要模块，在神经网络的反向传播过程中，Autograd 模块基于正向计算的结果对当前的参数进行微分计算，从而实现网络权重参数的更新。...torch.tensor(10, requires_grad=True, dtype=torch.float64) # 变量经过中间运算 f = x ** 2 + 20 # 自动微分...]) # 所以, 不能直接自动微分 # 需要将结果计算为标量才能进行计算 f2 = f1.mean() # f2 = 1/2 * x # 自动微分 f2.backward...torch.float64) # 经过中间的计算 y = x1**2 + x2**2 + x1*x2 # 将输出结果变为标量 y = y.sum() # 自动微分
内容介绍这一篇幅里面主要是围绕 AI 框架、或者训练平台的自动微分功能。AI 框架中关于自动微分的一个重要性不言而喻，实际上自动微分是贯穿整个 AI 框架的全流程。...没有了自动微分，也就没有了 AI 框架最核心的功能。为什么这么说呢？...实际上除了正向的表示是用户手工的地去构建，反向的表示、自动微分的实现、正反向的链接关系都是由 AI 框架，里面的自动微分功能去实现的。因此说自动微分这个功能在 AI 框架里面是非常的重要。...在接下来的内容，主要是了解计算机实现微分的基本概念，其实微分的实现方式分为很多种，有数字微分，符号微分，自动微分。函数的微分是指对函数的局部变化的一种线性描述。...当 x 有极小的变化量时，我们称对 x 微分。微分主要用于线性函数的改变量，这是微积分的基本概念之一。在具体实现自动微分的过程中，主要有 2 种实现模式，前向和向后微分。
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