第一部分、 DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）
“在对电机进行电磁力分析时，需要对其进行两维傅立叶变换，本文将通过动图及视频的方式解释两维傅立叶变换的目的及过程。整篇文章有6个视频，由于微信公众平台每篇文章仅能调用3个，故文章分为两部分，本文为Part1。”
一般傅里叶变换与反变换的公式是成对儿给出的。1、如果正变换 前有系数1/2*π，则反变换 前无系数2、如果正变换 前无系数，则反变换 前有系数1/2*π3、正、反变换 前.
简单来说，傅里叶变换是将输入的信号分解成指定样式的构造块。例如，首先通过叠加具有不同频率的两个或更多个正弦函数而生成信号f（x），之后，仅查看f（x）的图像缺无法了解使用哪种或多少原始函数来生成f（x）。
傅立叶变换是一种从完全不同的角度查看数据的强大方法：从时域到频域。 但是这个强大的运算用它的数学方程看起来很可怕。
无论是处理声音和图像信号，都必须用到傅立叶变换。其实除了这些“正经”用途，它还能做一些有意思的事情。
要理解这些变换，首先需要理解什么是数学变换！如果不理解什么是数学变换的概念，那么其他的概念我觉得也没有理解。
断断续续写了一个多星期，期间找了很多同学讨论学习，感谢指导过点拨过我的同学们，为了精益求精本着不糊弄别人也不糊弄自己的原则在本文中探讨了很多细节。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。”分析”二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，”分析”二字，实际就是”条分缕析”而已。它通过对函数的”条分缕析”来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，”分析主义”和”还原主义”，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。”任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用
而他的独特是因为：他不像其他科学家那般死抓着纯数学研究，而是致力于将数学应用于实际生产。
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
“上一篇介绍了传递函数H(f)的计算方法，工程应用中很多传递函数并非简单的输出比输入（Output/Input)一次得到，而是需要进行多次平均，通过平均算法来降低输入噪声或输出噪声对传递函数计算的影响”
“前一篇文章我们讲解了傅立叶变换的理论公式，而实际工程应用中采集到的信号都是离散的数据，采用的是离散傅立叶变换。让我们继续解析一下其推导过程及相关概念”
来源：机器学习杂货店 本文约3100字，建议阅读6分钟本文分享一篇关于傅立叶变换理解的文章。 这篇文章可以说是介绍傅里叶变换最清晰通俗的，没有之一，直接把你当做小学生来讲，通过大量的动画不但告诉你傅里叶变换是什么，还告诉你傅里叶变换能干什么。 难能可贵的是，你可以通过手动绘制图案和拖动滑块来加深读傅里叶变换的理解。 动画链接： https://www.jezzamon.com/fourier/index.html 傅里叶变换是一种在各个领域都经常使用的数学工具。这个网站将为你介绍傅里叶变换能干什么，为什么
任何一个函数都可以由一系列正弦波的叠加表示，比如盒子函数对应的傅立叶函数形式如下：
小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种新的变换分析方法，其继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了后者窗口大小不随频率变化的缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。
笔者也是近期猜对算法感兴趣的，可能对刚入门的同学来说，算法接触不到，但是对于有一些经验的程序员来说，算法的技能是必备的，尤其是面试的时候，动不动就让你手写算法，其实考验的就是你的基础知识。第一篇我就来讲解快排算法，开发中用到的并不多，大家先理解快排思路，然后在背代码的时候就很容易了，核心代码不到十行，所以也是一个很简单的算法。
翻译：陈之炎 校对：李海明 本文约2400字，建议阅读5分钟本文为大家介绍了OpenCV离散傅里叶变换。 目标 本小节将寻求以下问题的答案： 什么是傅立叶变换，为什么要使用傅立叶变换？ 如何在OpenCV中使用傅立叶变换？ copyMakeBorder() , merge() , dft() , getOptimalDFTSize() , log() 和 normalize() 等函数的使用方法。 源代码 可以到 samples/cpp/tutorial_code/core/discrete_fo
目录 视频为什么要编解码 视频是否可以压缩 编解码实现原理 编解码标准和国际组织 视频文件封装（容器） 视频质量评价体系 1.为什么视频要编解码？ 未经过压缩的视频数据量非常大，存储困难，同时也不便于
傅里叶变换是一种在各个领域都经常使用的数学工具。这个网站将为你介绍傅里叶变换能干什么，为什么傅里叶变换非常有用，以及你如何利用傅里叶变换干漂亮的事。就像下面这样：
来源：深度学习爱好者本文共3100字，建议阅读6分钟本文最清晰通俗的介绍傅里叶变换。 这篇文章可以说是介绍傅里叶变换最清晰通俗的，没有之一，直接把你当做小学生来讲，通过大量的动画不但告诉你傅里叶变换是什么，还告诉你傅里叶变换能干什么。难能可贵的是，你可以通过手动绘制图案和拖动滑块来加深读傅里叶变换的理解。 可以点击链接： https://www.jezzamon.com/fourier/index.html 查看动画！ 傅里叶变换是一种在各个领域都经常使用的数学工具。这个网站将为你介绍傅里叶变换能干什么，
图 (a): (从左到右) (1) 原始图片 (2) 使用高斯低通滤波器 (3) 使用高斯高通滤波器. 本文中的原始图像来自OpenCV Github示例。
信号(singal)简介 我们在生活中经常遇到信号。比如说，股票的走势图，心跳的脉冲图等等。在通信领域，无论是的GPS、手机语音、收音机、互联网通信，我们发送和接收的都是信号。最近，深圳地铁通信系统疑
像素：一张图片在不停的放大到再也无法放大的时候，呈现在我们眼前的是一个个小的颜色块，这种带有颜色的小方块就可以被称为像素
信号是数字信号处理领域中最基本、最重要的概念。而数字信号变换技术，又是对信号进行处理操作的最基本的有效途径之一。因此，数字信号变换技术，便成为数字信号处理领域中专业人员所必须要张我的一项最基本的技能。
原文链接：https://github.com/Jezzamonn/fourier 译者：virtualwiz
http://blog.csdn.net/iamoyjj/archive/2009/05/15/4190089.aspx
如果你像我一样，试着理解mel的光谱图并不是一件容易的事。你读了一篇文章，却被引出了另一篇，又一篇，又一篇，没完没了。我希望这篇简短的文章能澄清一些困惑，并从头解释mel的光谱图。
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傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。是真实世界，是惟一实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。
卷积在数据分析中无处不在。几十年来，它们已用于信号和图像处理。最近，它们已成为现代神经网络的重要组成部分。
音调主要和声波的频率有关。但是音调和频率并不是成正比的关系，它还与声音的强度 及波形有关。
数字图像处理是一门涉及获取、处理、分析和解释数字图像的科学与工程领域。这一领域的发展源于数字计算机技术的进步，使得对图像进行复杂的数学和计算处理变得可能。以下是数字图像处理技术的主要特征和关键概念：
“在对电机进行电磁力分析时，需要对其进行两维傅立叶变换，本文将通过动图及视频的方式解释两维傅立叶变换的目的及过程。整篇文章有6个视频，由于微信公众平台每篇文章仅能调用3个，故文章分为两部分，本文为Part2。”
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是指傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号做DFT，也应当对其经过周期延拓成为周期信号再进行变换。在实际应用中，通常采用快速傅里叶变换来高效计算DFT。
小枣君：大家都知道《信号与系统》是一门很难的课。今天给大家推荐一篇文章，看了之后，也许就会找到打开这门课的正确方式。
随机信号的功率谱分析是一种广泛使用的信号处理方法,能够辨识随机信号能量在频率域的分布,同时也是解决多种工程随机振动问题的主要途径之一.Matlab作为大型数学分析软件,得到了广泛应用,目前已推出7.x的版本.Matlab内建了功能强大的信号处理工具箱.psd函数是Matlab信号处理工具箱中自功率谱分析的主要内建函数.Matlab在其帮助文件中阐述psd函数时均将输出结果直接称为powerspectrumdensity,也即我们通常所定义的自功率谱.实际上经分析发现,工程随机振动中功率谱标准定义[1]与Matlab中psd函数算法有所区别,这一点Matlab的帮助文档没有给出清晰解释.因此在使用者如没有详细研究psd函数源程序就直接使用,极易导致概念混淆,得出错误的谱估计.本文详细对比了工程随机振动理论的功率谱定义与Matlab中psd函数计算功率谱的区别,并提出用修正的psd函数计算功率谱的方法,并以一组脉动风压作为随机信号,分别采用原始的psd函数与修正后的psd函数分别对其进行功率谱分析,对比了两者结果的差异,证实了本文提出的修正方法的有效性.1随机振动相关理论1.1傅立叶变换求功率谱理论上,平稳随机过程的自功率谱密度定义为其自相关函数的傅立叶变换:Sxx()=12p+-Rxx(t)eitdt(1)其中,S(xx)()为随机信号x(t)的自功率谱密度,Rxx(t)为x(t)的自相关函数.工程随机振动中的随机过程一般都是平稳各态历经的,且采样信号样本长度是有限的,因此在实用上我们采用更为有效的计算功率谱的方法,即由时域信号x(t)构造一个截尾函数,如式(2)所示:xT(t)=x(t),0tT0,其他(2)其中,t为采样时刻,T为采样时长,x(t)为t时刻的时域信号值.由于xT(t)为有限长,故其傅立叶变换A(f,T)以及对应的逆变换存在,分别如式(3)、(4)所示:A(f,T)=+-xT(t)e-i2pftdt(3)xT(t)=+-A(f,T)ei2pftdt(4)由于所考虑过程是各态历经的,可以证明:Sxx(f)=limT1TA(f,T)2(5)在实际应用中,式(5)是作功率谱计算的常用方法.1.2功率谱分析中的加窗和平滑处理在工程实际中,为了降低工程随机信号的误差,一般对谱估计需要进行平滑处理.具体做法为:将时域信号{x(t)}分为n段:{x1(t)},{x2(t)},…,{xn-1(t)},{xn(t)},对每段按照式(5)求功率谱Sxixi(f),原样本的功率谱可由式(6)求得:Sxx(f)=1nni=1Sxixi(f)(6)如取一样本点为20480的样本进行分析,将样本分割为20段进行分析,每段样本点数为1024.将每段1024个样本点按照式(5)的方法分别计算功率谱后求平均,即可得到经过平滑处理的原样本的功率谱,这样计算出的平滑谱误差比直接计算要降低很多.另一方面,由于实际工程中随机信号的采样长度是有限的,即采样信号相当于原始信号的截断,即相当于用高度为1,长度为T的矩形时间窗函数乘以原信号,导致窗外信息完全丢失,引起信息损失.时域的这种信号损失将会导致频域内增加一些附加频率分量,给傅立叶变换带来泄漏误差.构造一些特殊的窗函数进行信号加窗处理可以弥补这种误差,即构造特殊的窗函数{u(t)},用{u(t)}去乘以原数据,对{x(t)u(t)}作傅立叶变换可以减少泄漏:Aw(f,T)=+-u(t)xT(t)e-i2pftdt(7)其中,Aw(f,T)为加窗后的傅立叶变换.u(t)xT(t)实际上是对数据进行不等加权修改其结果会使计算出
写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。
音频项目中，比如识别，重建或者生成任务之前通常都需要将音频从时域转换到频域，提取特征后再进行后续工作。MFCC(Mel-Frequency Cepstral Coefficients)，梅尔倒谱系数，就是比较常用的音频特征提取方式。本文主要介绍mfcc提取流程。
完整版教程下载地址：http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=94547 第24章 DSP变换运算-傅里叶变换 本章节开始进入此教
基于python的快速傅里叶变换FFT（二） 本文在上一篇博客的基础上进一步探究正弦函数及其FFT变换。
相位相关（phase correlate）可以用于检测两幅内容相同的图像之间的相对位移量。可用于对齐图像，不具备光照不变性。它是基于傅立叶变换的位移定理：一个平移过的函数的傅立叶变换仅仅是未平移函数的傅立叶变换与一个具有线性相位的指数因子的乘积，即空间域中的平移会造成频域中频谱的相移。它的公式定义为：设二维函数（图像）f(x,y)的傅立叶变换为F(u,v)，即DFT[f(x,y)]=F(u,v)，如果f(x,y)平移(a,b)，则平移后的傅立叶变换为：
RSA加密曾被视为最可靠的加密算法，直到秀尔算法出现，打破了RSA的不灭神话。 RSA加密 VS 秀尔算法 作为RSA加密技术的终结者——“太多运算，无法读取”的秀尔算法（Shor’s algorithm）不是通过暴力破解的方式找到最终密码的，而是利用量子计算的并行性，可以快速分解出公约数，从而打破了RSA算法的基础（即假设我们不能很有效的分解一个已知的整数）。 同时，秀尔算法展示了因数分解这问题在量子计算机上可以很有效率的解决，所以一个足够大的量子计算机可以破解RSA。 RSA加密“曾经”之所以强大
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