【简单】差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c ，其中 (x1,y1),(x2,y2) 是一个子矩阵的左上角和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素加 c 。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q 。接下来 n 行，每行 m 个 整数，表示整数矩阵。接下来 q 行，每行包括 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c ，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
输入样例
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1输出样例
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2题解
（二维差分）O(1)
二维前缀和（基础扩展） O(1) ：
求前缀和，以 S_{i,j} 为例（a_{i,j} 为当前位置的值）：
S_{i,j}=S_{i,j-1}+S_{i-1,j}-S_{i-1,j-1}+a_{i,j}
一个左上角和右下角坐标为 (x1,y1),(x2,y2) 子矩阵的和可认为：
S_{x_2,y_2}-S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_2-1}
即 S_{x_2,y_2} 减去两个矩形再加上两个矩形重叠部分多减去的一次。
二维差分（即前缀和的逆运算）O(1) ：
构造 b 使得 a 为 b 数组的前缀和，即 b 为 a 的差分：
a_{i,j}=b_{1,1}+b_{1,2}+\ldots +b_{2,1}+b_{2,2}+\ldots+b_{i,j}
具体到此题，要使得 a 中间的子矩阵全部加上 c ，即是让其差分 b_{x_1,y_1} 加上 c ，此时，该坐标之后的矩阵（b 的前缀和子矩阵）全部加上 c ，也就多加了一个倒“L”型的区域，将该区域减去即可完成题目操作。详见 insert() 函数。
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
insert(i, j, i, j, a[i][j]);//将读入的矩阵构造差分更新到b中
while(q--)
{
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];//求二维差分矩阵b的前缀和
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
printf("%d ", b[i][j]);
cout << endl;
}
return 0;
}腾讯云开发者
