\begin{bmatrix}m_{11} \ m_{12} \\ m_{13} \ m_{14} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot q_{1} \\ \ddot q_{2} \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_{11} \ c_{12} \\ c_{13} \ c_{14} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot q_{1} \\ \dot q_{2} \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}G_{1} \\ G_{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tau_{1} \\ \tau_{2} \\ \end{bmatrix}

考虑到机械臂与环境的接触，则机器人的动力学方程可以表示为如下所示

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=\tau-J^T(q)F_{ext}

上式可以转换为

J^{-T}M(q)\ddot q+J^{-T}C(q,\dot q)\dot q+J^{-T}G(q)=J^{-T}(q)\tau-F_{ext}\\ =>J^{-T}M(q)J^{-1}\ddot x+J^{-T}C(q,\dot q)J^{-1}\dot x+J^{-T}G(q)=J^{-T}(q)\tau-F_{ext}\\ =>M(x)\ddot x+C(x,\dot x)\dot x+G(x)=J^{-T}(q)\tau-F_{ext}\\

上式中，M(x)=J^{-T}M(q)J^{-1}，C(x,\dot x)=J^{-T}C(q,\dot q)J^{-1}，G(x)=J^{-T}G(q)，

1.2 基于电流驱动的刚性机械臂

基于电流驱动的刚性机械臂的动力学如下所示：

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=Hi

L\dot i+Ri+K_b\dot q=u

当机械臂的与环境接触时候，则有

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=Hi-J^T(q)F_{ext}

L\dot i+Ri+K_b\dot q=u

1.3 柔性关节机械臂

柔性关节机械臂的动力学如下所示

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=K(\theta-q)

J\ddot \theta+B\dot \theta+K(\theta-q)=\tau_a

当机械臂的与环境接触时候，则有

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=K(\theta-q)-J^T(q)F_{ext}

J\ddot \theta+B\dot \theta+K(\theta-q)=\tau_a

1.4 电流驱动柔性关节机械臂

电流驱动柔性关节机械臂动力学

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=K(\theta-q)

J\ddot \theta+B\dot \theta+K(\theta-q)=Hi

L\dot i+Ri+K_b\dot q=u

当机械臂的与环境接触时候，则有

M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+G(q)=K(\theta-q)-J^T(q)F_{ext}

J\ddot \theta+B\dot \theta+K(\theta-q)=Hi

L\dot i+Ri+K_b\dot q=u

2 柔性机器人动态控制目标与方法

柔性机器人控制的条件主要有以下四种：

无时间限制的点到点运动
有时间限制的点到点运动
关节空间内的轨迹规划
工作空间内的轨迹跟踪

机器人相应的控制方法包括：

前馈控制：输入整形技术；优化轨迹规划；
被动控制：控制-结构优化设计，耦合结构；
智能控制：神经网络控制；自适应控制;鲁棒控制；基于动态反馈的精确线性化
特殊控制方法：边界控制；机械臂波法；代数控制；输出再定义；超前滞后控制；极点配置

3 机器人刚柔耦合动力学的实际工程应用

一般来说，机器人的动力学建模主要有两种用途，一种用于机器人的控制，如反馈控制和前馈控制。另外一种是机器人的动态仿真。同样的，机器人的和刚柔耦合动力学也同样可以用于机器人的控制和仿真。但是一般来说刚柔耦合应用在实际的控制工程实现较为复杂，尤其是针对较为复杂的刚柔动力学，即杆柔性等。但是对于实际的工程应用，机器人刚柔耦合动力学的建模和仿真主要用于正向动力学的仿真。而正向动力学参与的仿真主要如下：

半实物仿真系统

4 刚柔耦合动力学多领域建模的工程应用

采用基于Modelica语言的多领域系统建模软件SimulationX，根据机械臂真实情况，建立了PMSM伺服电机模型，机械臂柔性关节及六维力/力矩传感器的动力学模型；SimulationX为多领域机械臂建模提供了相关的电路模块、控制模块、多体动力学MBS模块、一维转动模块，在此基础上可以方便地建立模型，并具有子系统封装功能，方便模型简化，同时支持模型导出实时代码。按照机械臂模型的真实情况，建立较为精确的关节模型，在SimulationX下可以生成实时代码，通过调用API函数，可以实现对机械臂模型的参数配置以及模型计算。具体模型包含以下几部分：

The flexible joint model with 6D flexibility in Simulation X
The model of a PMSM motor
The servo control system of single joint in Simulation X
The prototype model of the whole space station manipulator systems

具体如下所示

6维柔性关节

PMSM电机

电机矢量控制

机械臂

走进机器人动力学世界

机器人刚柔耦合动力学建模与应用汇总

1 机器人刚柔耦合动力学具体形式

1.1 刚性机械臂

1.2 基于电流驱动的刚性机械臂

1.3 柔性关节机械臂

1.4 电流驱动柔性关节机械臂

2 柔性机器人动态控制目标与方法

3 机器人刚柔耦合动力学的实际工程应用

4 刚柔耦合动力学多领域建模的工程应用

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