椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现

椭圆曲线加密算法,即:Elliptic Curve Cryptography,简称ECC,是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA,ECC优势是可以使用更短的密钥,来实现与RSA相当或更高的安全。据研究,160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密,210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用,是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

椭圆曲线

一般,椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示:

y² = x³ + ax + b,其中a、b为系数。

其形状如下:

定义椭圆曲线的运算规则

椭圆曲线上的运算规则,由如下方式定义:

加法:过曲线上的两点A、B画一条直线,找到直线与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A+B,即为加法。如下图所示:

A + B = C

二倍运算:上述方法无法解释A + A,即两点重合的情况。因此在这种情况下,将椭圆曲线在A点的切线,与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A + A,即2A,即为二倍运算。

如下图所示:A + A = 2A = B

正负取反:将A关于x轴对称位置的点定义为-A,即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示:

无穷远点:如果将A与-A相加,过A与-A的直线平行于y轴,可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。如下图所示:

综上,定义了A+B、2A运算,因此给定椭圆曲线的某一点G,可以求出2G、3G(即G + 2G)、4G......。即:当给定G点时,已知x,求xG点并不困难。反之,已知xG点,求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线,要求x,y取值均为实数,即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法,并非使用实数域,而是使用有限域。按数论定义,有限域GF(p)指给定某个质数p,由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1,其在有限域GF(23)上时,写作:

y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时,椭圆曲线不再是一条光滑曲线,而是一些不连续的点,如下图所示。以点(1,7)为例,7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点:

(0,1) (0,22)

(1,7) (1,16)

(3,10) (3,13)

(4,0)

(5,4) (5,19)

(6,4) (6,19)

(7,11) (7,12)

(9,7) (9,16)

(11,3) (11,20)

等等。

另外,如果P(x,y)为椭圆曲线上的点,则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1),-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

计算xG

相关公式如下:

有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b,若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq),且P≠-Q,则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定:

Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p

Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p

其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p(若P≠Q), λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p(若P=Q)

因此,有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23),假设以(0,1)为G点,计算2G、3G、4G...xG等等,方法如下:

计算2G:

λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12

Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6

Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19

即2G为点(6,19)

计算3G:

3G = G + 2G,即(0,1) + (6,19)

λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3

Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3

Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13

即3G为点(3, 13)

同理计算4G、5G...xG,分布如下图:

椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制,需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x,是非常困难的,此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥,xG即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下:

设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

公钥加密:

选择随机数r,将消息M生成密文C,该密文是一个点对,即:

C = ,其中K为公钥

私钥解密:

M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M

其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法,即ECDSA。

设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

私钥签名:

1、选择随机数r,计算点rG(x, y)。

2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。

3、将消息M、和签名发给接收方。

公钥验证签名:

1、接收方收到消息M、以及签名。

2、根据消息求哈希h。

3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。

原理如下:

hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

Go语言中椭圆曲线的实现

椭圆曲线的接口定义:

椭圆曲线的接口实现:

Go语言中椭圆曲线签名的实现

Go标准库中实现的椭圆曲线签名原理,与上述理论中基本接近。相关证明方法已注释在代码中。

后记

椭圆曲线数字签名算法,因其高安全性,目前已广泛应用在比特币、以太坊、超级账本等区块链项目中。

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  • 原文链接http://kuaibao.qq.com/s/20180105G0GY9900?refer=cp_1026
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