椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

椭圆曲线

一般，椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示：

y² = x³ + ax + b，其中a、b为系数。

其形状如下：

定义椭圆曲线的运算规则

椭圆曲线上的运算规则，由如下方式定义：

加法：过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：

A + B = C

二倍运算：上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

如下图所示：A + A = 2A = B

正负取反：将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：

无穷远点：如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。如下图所示：

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：

y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)

(1,7) (1,16)

(3,10) (3,13)

(4,0)

(5,4) (5,19)

(6,4) (6,19)

(7,11) (7,12)

(9,7) (9,16)

(11,3) (11,20)

等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

计算xG

相关公式如下：

有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p

Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p

其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：

λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12

Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6

Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19

即2G为点(6,19)

计算3G：

3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)

λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3

Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3

Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13

即3G为点(3, 13)

同理计算4G、5G...xG，分布如下图：

椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下：

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

公钥加密：

选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：

C = ，其中K为公钥

私钥解密：

M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M

其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法，即ECDSA。

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

私钥签名：

1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。

2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。

3、将消息M、和签名发给接收方。

公钥验证签名：

1、接收方收到消息M、以及签名。

2、根据消息求哈希h。

3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。

原理如下：

hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

Go语言中椭圆曲线的实现

椭圆曲线的接口定义：

椭圆曲线的接口实现：

Go语言中椭圆曲线签名的实现

Go标准库中实现的椭圆曲线签名原理，与上述理论中基本接近。相关证明方法已注释在代码中。

后记

椭圆曲线数字签名算法，因其高安全性，目前已广泛应用在比特币、以太坊、超级账本等区块链项目中。