兄弟连区块链教程信息安全3椭圆曲线加解密及签名算法技术原理一

兄弟连区块链教程区块链信息安全3椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理一，2018年下半年，区块链行业正逐渐褪去发展之初的浮躁、回归理性，表面上看相关人才需求与身价似乎正在回落。但事实上，正是初期泡沫的渐退，让人们更多的关注点放在了区块链真正的技术之上。

椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。

相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。

据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

### 椭圆曲线

一般，椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示：

y² = x³ + ax + b，其中a、b为系数。

如果满足条件4a³+27b²≠0，则可以基于E(a, b)定义一个群。

### 定义椭圆曲线的运算规则

椭圆曲线上的运算规则，由如下方式定义：

加法：过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。

二倍运算：上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。

因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

A + A = 2A = B

正负取反：将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。

无穷远点：如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。

即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。

此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

### 有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。

但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。

按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：

y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点。

以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)

(1,7) (1,16)

(3,10) (3,13)

(4,0)

(5,4) (5,19)

(6,4) (6,19)

(7,11) (7,12)

(9,7) (9,16)

(11,3) (11,20)

等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。

如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

### 计算xG

相关公式如下：

有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

* Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p

* Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p

* 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：

* λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12

* Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6

* Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19

即2G为点(6,19)

计算3G：

3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)

* λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3

* Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3

* Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13

即3G为点(3, 13)

同理计算4G、5G...xG

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