动载荷的概念及分类

在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。

在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。这些部属于动载荷研究的实际工作问题。实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。

动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：

1．构件作加速运动。这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。

2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。

3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。

实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。

1. 构件作加速运动时的应力计算

本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。

1.1 构件作匀加速直线运动

设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为γ，现在来分析杆内的应力。

由于匀质等直杆作匀加速运动．故其所有质点都具有相同的加速度a，因而只要在每质点上都施加一个大小等于其质量m与加速度a的乘积、而方向与a相反的惯性力，则整个杆件即可认为处于平衡状态。于是这一动力学问题即可作为静力学问题来处理。这种通过施加惯性力系而将动力学问题转换为静力学问题的处理方法，称为动静法。

对于作匀加速直线运动的匀质等直杆来说，在单位长杆上应施加的惯性力，亦即它所受到的动载荷显然为

它的方向与a相反，并沿杆件的轴线均匀分布。

为了计算此杆的应力，首先来分析它的内力。为此，应用截面法，在距下端为x处将杆假想地切开，并保留下面一段杆，其受力情况如

图14-1(b)所示。此段杆受到沿其长度均匀分布的轴向载荷的作用，其集度即单位长杆所受到的载荷为

式中，是单位长杆所受到的重力，即a=0时单位长杆所受到的载荷，亦即静载荷。在上述轴向载荷作用下，直杆横截面上的内力应为一轴力，由平衡条件得此轴力的大小为

                  (14-1)

轴力在横截面上将引起均匀分布的正应力，于是，该截面上的动应力为

                    (14-2)

由式(14-2)可知，这一动应力是沿杆长按线性规律变化的，其变化规律如图14-1(c)所示。

   若此杆件静止悬挂或匀速提升时，亦即受静载荷作用时，由于a=0，由公式(14-2)得其静应力为

于是动应力又可以表示为

                    (14-3)

                     (14-4)

Kd称为动荷系数。于是，构件作匀加速直线运动的强度条件为

               （14-5）

由于在动载荷系数

中已经包含了动载荷的影响，所以

即为静载下的许用应力。

动载荷系数的概念在结构的动力计算中是非常有用的，因为通过它可将动力计算问题转化为静力计算问题，即只需要将由静力计算的结果乘上一个动载荷系数就是所需要的结果。但应注意，对不同类型的动力问题，其动载荷系数

是不相同的。

1.2 构件作匀角遮转动时的应力计算

构件作匀角速转动时，构件内各点具有向心加速度，施加离心惯心力后，可采用动静法求解。

图14-2(a)所示为一等直杆绕铅直轴O(垂直于纸面)作匀角速转动。现求杆内最大动应力及杆的总伸长。设匀角速度为ω(rad/s)，杆的横截面积为A．杆的重量密度为ρ，弹性模量为E。

因杆绕O轴作匀角速转动，杆内各点到转轴O的距离不同，而有不同的向心加速度。对细长杆距杆右端为

的截面上各点的加速度为

该处的惯性力集度为

取微段

，此微段上的惯性力为

计算距杆右端为x处截面上的内力，运用截面法，保留杆x截面以右部分，在保留部分上作用有轴力FN(x)及集度为qd的分布惯性力，如图14-2(b)所示，由平衡条件得

由此得出

最大轴力发生在x=l处

最大动应力为

可见，本例中杆的动应力与杆的横截面面积无关。

下面计算杆的总伸长。距杆右端为x处取微段dx，应用虎克定律，此微段的伸长为

进行积分，求得杆的总伸长为

例14-1  图14-3(a)所示之薄壁圆环，以匀角速

绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，试求圆环的动应力及平均直径D的改变量。已知圆环的横截面面积为A，材料单位体积的质量为

，弹性模量为E。

解  因圆环作匀角速运动，所以环内各点只有向心加速度。对于薄壁圆环，其壁厚远小于平均直径D，可近似认为环内各点向心加速度大小相同，且等于平均直径为D的圆周上各点的向心加速度，即

于是，沿平均直径为D的圆周上均匀分布的离心惯性力集度qd为

按动静法，离心惯性力qd自身组成一平衡力系。为了求得圆环的周向应力，先求通过直径截面上的内力。为此将圆环沿直径分成两部分。研究上半部分，见图14-3(c)，内力以

表示，由平衡条件，得

解得，

圆环的周向应力为

根据强度条件

可确定圆环的极限匀角速度为。

可见

与横截面面积无关，即面积A对强度没有影响。

下面计算平均直径的改变量

。若周向应变为

，有

即

根据虎克定律，代入上式，得平均直径的改变量为

若圆环是飞轮的轮缘，它与轮心采用过盈配合，当转速过大时，则由于变形过大而可能自行脱落。

例14-2  在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮(图14-4)。与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的转动惯量为，轴的直径d=100mm，转速n=300r/min，刹车时使轴在10秒内均匀减速停止转动。试求轴内最大动应力。

解  轴与飞轮的角速度(rad/s)为

刹车时的角加速度(rad/s2)为

等号右边的负号只是表示

与

的方向相反。按动静法，飞轮的惯性力偶矩

与轮上的摩擦力矩

组成平衡力系。惯性力偶矩(kN·m)为

由平衡条件，得

轴横截面上的最大切应力为

14-3 构件受冲击时的应力与变形

当不同速度的两个物体相接触，其速度在非常短的时间内发生改变时，或载荷迅速地作用在构件上，便发生了冲击现象。例如汽锤锻造、金属冲压加工、传动轴的突然制动等情况下都会出现冲击问题。通常冲击问题按一次性冲击考虑，对多次重复性冲击载荷来说将产生冲击疲劳。

1.3 冲击问题的理想化

冲击应力的计算是一个复杂问题。其困难在于需要分析物体在接触区内的应力状态和冲击力随时间变化的规律。冲击发生时，冲击区和支承处因局部塑性变形等会引起能量损失。同时，由于物体的惯性作用会使冲击时的应力或位移以波动的形式进行传播。考虑这些因素时，问题就变得十分复杂了，其中许多问题仍是目前正在研究和探索的问题。

因此，在工程中通常都在假设的基础上，采用近似的方法进行分析计算。即首先根据冲击物被冲击物在冲击过程中的主要表现，将冲击问题理想化，以便于求解。

这里介绍一种建立在一些假设基础上的按能量守恒原理分析冲击应力和变形的方法，可对冲击问题给出近似解答。

假设当冲击发生时：

1．冲击物为刚体，即略去其变形的影响。

2．被冲击物的惯性可以略去不计，并认为两物体一经接触就附着在一起，成为一个运动系统。

3．材料服从虎克定律，并略去冲击时因材料局部塑性变形和发出声响等而引起的一切其它能量损失。

基于上述假设，任何受冲击的构件或结构都可视为一个只起弹簧作用，而本身不具有质量的受冲击的弹簧。例如图14-5(a)、(b)、(c)、(d)所示的受自由落体冲击时的构件或结构，都可简化为图14-6所示的冲击模型。只是各种情况下与弹簧等效的各自的弹簧常数不同而已。例如图14-5(a)、(b)所示的构件，其等效的弹簧常数应分别为

和

。

1.4 简单冲击问题的解法

1．自由落体冲击

设一简支梁(线弹性体)受自由落体冲击如图14-7所示，试分析此梁内的最大动应力。

设重物的重量为G，到梁顶面的距离为h，并设冲击时梁所受到的冲击力为Fd，其作用点的相应位移

。则冲击物在冲击前的瞬间所具有的速度为                         

而在它与被冲击物一起下降

后，这一速度变为零。于是，冲击物在冲击过程中的能量损失包括两部分，一部分是动能损失

另一部分是势能损失

而被冲击物在这一过程中所储存的变形能，即等于冲击力所作的功。对于线弹性体，有

根据前面的假设，在冲击过程中，冲击物所损失的能量，应等于被冲击物所储存的变形能，则有

即

               (a)

如设冲击点在静载荷G作用下的相应位移为

，对于理想线弹性体，显然有

所以得到

                           (b)

式中，

为动荷系数。将动载荷系数的表达式(b)代人能量转换式(a)并经整理后得

                        （c）

方程(c)显然有两个根，其中负根对于这里讨论的问题来说是无意义的，故舍弃。于是动载荷系数为：

                          (14-6)

式(14-6)适用于所有自由落体冲击，但对于其它形式的冲击不适用。各种冲击形式下的动载荷系数，均可根据各自的能量转换关系导出。

由于，则式(14-6)可表示为

                         (14-7)

当动载荷系数确定以后，只要将静载荷的作用效果放大

倍，即得动载的作用效果。即有：

于是，梁的最大动应力为

故梁的强度条件为：

在上述讨论中，由于忽略了其它形式的能量损失，如振动波、弹性回跳以及局部塑性变形所消耗的能量，而认为冲击物所损失的能量，全部都转换成了被冲击物的变形能，因而这一算法事实上是偏于安全的。但是，值得注意的是，如果按这一算法算出的构件的最大工作应力，超过了材料的比例极限，即

时，上述算法将不再适用，因为这一算法是在被冲击物为理想线弹性体的前提下导出的。

例14-3 重量G = l kN的重物自由下落在矩形截面的悬臂梁上，如图14-8所示。已知

b=120mm，h=200mm，H=40mm，l=2m，E=10GPa，试求梁的最大正应力与最大挠度。

解  此题属于自由落体冲击，故可直接应用前面导出的公式计算。即

而动载荷系数            

于是求解过程可分为两个步骤：

1．动载荷系数的计算

为了计算

，应先求冲击点的静位移

。悬臂梁受静载荷G作用时，载荷作用点的静位移，即自由端的挠度为

则动载荷系数

2．静载荷作用下的应力与变形

如图14-7所示，悬臂梁受静载荷G作用时，最大正应力发生在靠近固定端的截面上，其值为

而最大挠度发生在自由端，即

于是，此梁的最大动应力与最大动挠度分别为

2．水平冲击

重量为G的重物以水平速度v撞在直杆上，如图14-9所示。若已知杆的抗弯刚度EI为常数，而抗弯截面系数为W，试求杆内的最大正应力。

此问题不属于自由落体冲击，因而一些相关的公式，需要根据冲击过程中的能量转换关系重新推导。

设杆件受到的水平方向的冲击力为Fd，其作用点的相应位移为

，则杆件的变形能为

而重物在冲击过程中早有动能损失，其值为          

于是，这时的能量转换关系为

如设沿冲击方向，即水平方向，作用静载荷G时，其作用点的相应位移为

，对于线弹性体则有下述关系存在

将这一关系式，代人上面的能量转换关系式，并经整理后得

舍去无意义的负根，得水平冲击时的动载荷系数为

此杆在静载荷G作用下，其作用点的相应静位移为

而杆内的最大静应力为

于是，杆内的最大动应力为

例14-4  图14-10(a)中所示的变截面杆a的最小截面与图14-10(b)所示的等截面杆b的截面相等，在相同的冲击载荷下，试比较柱两杆的强度。两杆的材料相同。

解  在相同的静载荷作用下，两杆的静应力

相同，但杆a的静变形

；显 然小于杆b的静变形

，则杆a的动应力必然大于杆b的动应力。而且杆a的削弱部分的长度s越小，则静变形越小，就更加增大了动应力的数值。

从公式(14-7)、式(14-9)都可看到，在冲击问题中，如能增大静位移

，就可以降低冲击载荷和冲击应力。这是因为静位移的增大表示构件较为柔软，因而能更多地吸收冲击物的能量。但是，增加静变形

应尽可能地避免增加静应力

，否则，降低了动载荷系数

，却又增加了

，结果动应力未必就会降低。汽车大梁与轮轴之间安装叠板弹簧，火车车厢架与轮轴之间安装压缩弹簧，某些机器或零件上加上橡皮座垫或垫圈，都是为了既提高静变形

，又不改变构件的静应力。这样可以明显地降低冲击应力，起很好的缓冲作用。

由弹性模量较低的材料制成的杆件，其静变形较大。所以如用弹性模量较低的材料代替弹性模量较高的材料，也有利于降低冲击应力。但弹性模量较低的材料往往许用应力也较低，所以还应注意是否能满足强度条件。

上述计算方法，省略了其它形式能量的损失。事实上，冲击物所减少的动能和势能不可能全部转变为被冲构件的变形能。所以，按上述方法算出的被冲构件的变形能的数值偏高，由这种方法求得的结果偏于安全。

1.5 其它类型的冲击问题

为了进一步掌握冲击过程中的能量转换关系，现在讨论几例工程中常见的冲击问题。图14-11所示吊索的一端悬挂着重量为G的重物，另一端绕在绞车的鼓轮上。已知吊索的横截面面积为A，弹性模量为E，重物以匀速v下降。当吊索的长度为l时，绞车突然刹住，试求吊索内的最大正应力。

此例与前面问题的差别就在于，刹车前吊索已经受到静载荷G的作用，产生了静变形

，并且已经储存了变形能。因此，如设吊索最终变形为

，相应的载荷为

，则由图14-11知，吊索在冲击过程中所储存的变形能为          

则重物在这一过程中，损失的能量有动能                          

及势能

于是，这时的能量转换关系为

再借助于

即可求得此时的动载荷系数为

吊索在静载荷G作用下的静应力与静变形分别为

于是，突然刹车时吊索中的最大动应力为

例14-5  若例14-2中的AB轴在A端突然刹车(即A端突然停止转动)，试求轴内最大动应力。设切变模量G=80GPa。轴长l=lm。

解  当A端刹车时，B端飞轮具有动能。固而AB轴受到冲击，发生扭转变形。在冲击过程中，飞轮的角速度最后降低为零，它的动能T全部转变为轴的变形能Ud。飞轮动能的改变为

AB轴的扭转变形能为        

由

解出扭矩            

轴内最大切应力为          

对于圆轴                  

所以                        

可见扭转冲击时的最大动应力

与轴的体积有关。体积Al越大，

越小。把

巳知数据代入上式，得

与例14-2比较．可知这里求得的

是在那里所得最大切应力的396倍。对于常用钢材，许用扭转切应力约为

=80~100MPa，上面求出的

已经远远超过了许用应力。所以对保证轴的安全来说，冲击栽荷是十分有害的。

例14-6  横截面积为A1，弹性模量为E1，长度为l1，单位体积重量为γ的匀质等直杆1以水平速度v与等直杆2相撞，如图l0-12所示。若杆2的长度为l2，横截面积为A2，弹性模量为E2，试求两杆中的最大动应力。

解  在这一冲击过程中，两杆都将产生变形，因而两杆都储存了变形能。如设两杆之间的冲击力为Fd，则2杆的变形能为

这时，1杆将受到沿轴线均匀分布的惯性力的作用，   图14-12所示，其集度为

于是，任意横截面上的轴力为故其变形能为

而这两部分变形能都是由1杆的动能转换而来的。在这一冲击过程中，l杆损失的动能为

于是，由解出冲击力

固两杆的最大动应力分别为

，

14.4 冲击韧度

在静载荷下塑性较好的构件，受冲击载荷作用时塑性降低。变形速度越高，材料越呈现脆性。尤其是构件存在应力集中以及在低温下，脆性断裂的危险性更大。

材料抵抗冲击的能力由材料的冲击试验确定。我国目前采用的标准试件是两端简支中央具有切槽的弯曲试件图14-13。

图14-13

冲击试验时，将U型切槽试件放置于冲击试验机的支架上，切槽位于受拉一侧，图14-14(b)，试验机的摆锤从一定高度下落并将试件撞断，图14-14(a)，撞断试件所消耗的功等于试件所吸收的能量。将此功W除以切槽处最小截面面积A，定义为材料的冲击韧度，用表示，则

                       14-13）

在冲击试件上开U形槽是为了在切槽附近产生高度应力集中，使切槽附近区域吸收较多的冲击能量。为此，有时采用V形切槽试件图14-13(b)。采用V形切槽试件进行试验时，其冲击韧度用冲断试件时摆锤所作的功来表示，而不除以切槽处的横截面面积。

材料的冲击韧度

随温度降低而减小。图14-15表示低碳钢的冲击韧度和温度之间的关系曲线。由图可见，在

附近，低碳钢的冲击韧度急剧降低，材料变得很脆，一般称之为冷脆现象。使冲击韧度急剧降低的温度称为转变温度。

          图 14-14                                      图14-15

有些金属材料，如铜、铝合金和某些合金钢的冲击韧度

变化很小，其冷脆现象不明显。

在选择受冲击构件的材料时，应根据设计规范的要求，材料在最低使用温度下应具有某一冲击韧度值，以防止发生脆性断裂。

习题

14-1  长度为l，重量为G，横截面面积为A的均质等直杆，水平放置在一排光滑的辊子上，杆的两端受轴向力Fl和F2作用，且F2>F1。试求杆内的正应力沿杆长的变化规律(设滚动摩擦可以忽略不计)。

14-2  桥式起重机上悬挂—重量G=50kN的重物，以匀速度v= l m/s向前移 （在图中，移动的方向垂直于纸面)。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动。若梁为14号工字钢，吊索横截面面积，试问此时吊索内及梁内的最大应力增加多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略不计。

14-3  飞轮的最大圆周速度v=25m/s，材料的密度是7.26kg／m3。若不计轮辐的影响，试求轮缘内的最大正应力。

14-4  冲击试验机的摆锤CD可绕水乎轴AB旋转。在试验前摆锤置于图示位置，然后使它在重力的作用下下落。已知F=250N，r=0.75m，l=0.25m，d=20mm。试求由摆锤的惯性力在AB轴内所引起的最大弯曲正应力的数值。杆CD及轴AB的自重略去不计，角度α可认为接近于零。

14-5  在直径为100mm的轴上装有转动惯量I=0.5kN.m.s2的飞轮，轴的转速为300r／min。制动器开始作用后，在20转内将飞轮刹停，试求轴内最大切应力。设在制动器作用前，轴已与驱动装置脱开，且轴承内的摩擦力可以不计。

14-6  图示钢轴AB的直径为80mm，轴上有一直径为80mm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB，若AB以匀角速度ω=40rad/s转动，材料的许用应力[σ]=70MPa，密度为7800kg／m3,试校核AB轴及CD杆的强度。

14-7  圆轴AD以等角速度ω转动，在轴的纵向对称平面内，于轴线的两侧装有两个重量均为G的偏心球。试求图示位置时，轴内的最大弯矩。

14-8  卷扬机开动时，鼓轮旋转，将重物G=40kN以加速度a=5m/s2向上提升，鼓轮重量为4kN，直径1.2m，其回转半径ρ=450mm，轴长l=1m，许用应力[σ]=100MPa，设鼓轮的两端可视为铰支，试按第三强度理论设计轴的直径。

14-9  用同一材料制成长度相等的等截面与变截面杆，二者最小截面相同。问二杆承受冲击的能力有无不同?为什么？

14-10  若冲击高度、被冲击物、支承情况和冲击点均相同，问冲击物重量增加一倍时冲击应力是否也增大一倍?为什么?

14-11  设重物G在距梁的支座B为l／3处的D点，自高为H处自由落下，梁的EI及弹簧系数C均为已知，试求梁受冲击时最大的动应力和动变形。

14-12  图示钢杆的下端有一圆盘，其上放置一弹簧。弹簧在1kN的静荷作用下缩短0.625mm。钢杆直径d=40mm，l=4m，许用应力[σ]=120MPa，E=200GPa。今有重量为G=15kN的重物自由下落，试求其许可高度H，又若无弹簧，则许可高度将等于多大?

14-13  直径d=300mm、长为l=6m的圆木桩，下端固定，上端受重W=2kN的重锤作用。木材的E1=10GPa。试求下列三种情况，木桩内的最大正应力：

(1)重锤以静载荷的方式作用于木桩上；

(2)重锤从离桩顶0.5m的高度自由落下；

(3)在桩顶放置直径为150mm、厚为40mm的橡皮垫，橡皮的弹性模量E2=8MPa。重锤也是从离橡皮垫顶面0.5m的高度自由落下。

14-14  一个700N体重的跳水运动员，设从300mm高处落到跳板上，跳板尺寸如图所示，E=10GPa，试求跳板中的最大弯曲应力。

14-15  如图安置一废的灰铸件，未能将其冲断，为了将其冲断，试述可能的措施有哪些?为什么？

增大些好还是减小些好?

14-16  图(a)、(b)所示二刚架的材料、截面形状，尺寸、长度均相同．承受图示冲击载荷作用，冲击点位置D都在水平杆BC的中点，弹簧系数为C。试问：(1)图(a)，(b)中何者的动载荷系数

大，(2)图(a)，(b)在相同点处的冲击应力

何者为大?

14-17  设AB杆的l、E、I及抗弯截面模量W均为己知。在C点受沿水平方向运动的物体冲击如图(a)，冲击物的重量为G，当它与杆接触时的速度为v。如在杆上冲击点处安装一个弹簧圈如图(b)，其弹簧系数为K(N／m)。试求在这两种情况下AB杆内各自受到的最大冲击应力。

14-18  设重量G的球在高度H处自由落到C点。若球架的AB段和BD段的刚度相同，均为EI1，DC段的抗弯刚度为EI2。试求球架受到的最大冲击应力。

14-19  图示为一直角L形折杆，A、B、C三点在同一水平面内，其自重不计，AB段为直径为d的圆截面；BC段为边长为a的方截面，设有一重量为P的物体在高度H处自由落到C点，试求危险点的位置及该点的应力。材料的E、G为已知。

14-20  圆轴直径d=60mm，l=2m，左端固定，右端有一直径D=100mm的鼓轮。轮上绕以钢绳，绳的端点A悬挂吊盘，绳长l1=10m，横截面面积A=120mm2，E=200GPa，轴的切变模量G=80GPa，重量G=800N的物体自h=200mm处落于吊盘上，试求轴内最大切应力和绳内最大正应力。