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用计算机教孩子真正的数学

我们为什么要教数学呢?教数学有什么意义?尤其是,为什么我们要将数学纳入通识基础教育?为什么数学是教育的一个重要组成部分?为什么要作为必修课?

我想,大概有以下三个理由:第一,完成技术工作,这对经济发展至关重要。第二,要在当今的世界中生存,就必须比过去掌握更多的数学知识,比如,你需要计算房贷,对政府的数据等种种数字保持怀疑。第三,逻辑思维训练。这几年,我们努力使社会运作和思维都变得符合逻辑。必须要指出,数学正是实现这种构想的重要工具。

那么,当我们说我们在做数学,或者在教数学的时候,我们指的是什么呢?总体来说,我觉得有四个步骤。正确的提问是第一步,我们想问的到底是什么问题?我们想了解的是什么?这一步是最容易搞砸的,如果人们问错了问题,毫无疑问,他们会因此而得出错误的结果。如果问题没有错误的话,接下来就是根据正确的问题,将其从现实世界的问题转化成一个数学问题。这就是第二步。这样做之后就进入了第三步骤,求出某个数学形式的答案。当然,数学在这一方面非常有用。最后,将解答转换成现实世界的问题。这个答案有没有解决现实社会的问题呢?当然事实证明这也是关键一步。

现在,疯狂的事情就是,在数学教育中,我们或许花了八成的时间在教学生用笔头计算解决第三个步骤。然而,这恰恰是计算机比任何经过多年运算训练的人都做得更好的一步。换言之,我们本应该用计算机去完成步骤三,而让学生花更多的精力去学好上述步骤一、二和四将问题概念化,并且运用它们,让教师示范怎么去做。

这里的重点就是:数学并不等同于计算。数学是比计算更广泛的一门学科。在某种程度上,计算只是机械化的数学。计算是一种杂活,就是那种你想尽量避免、希望让机器来完成的工作,仅仅作为达到目的的手段,而不是目的本身。现在我们不难理解出现这种将计算和数学混淆在一起的原因了。几百年来,我们进行计算的唯一方法就是笔算,仅仅是近几十年,这种情况才出现根本性的变化。计算机的运用使任何古老学科产生最大的变革成为了可能。

但是,仅仅是今天的世界范围之内,我们就平均用了大约106年的生命时间去教人们做人工运算,这是巨大的劳动量,而且绝大多数人在做人工运算时没有任何乐趣。因此,虽然就事实而言,数学已经从计算中解放出来,但是数学的解放却仍没有被引入到教学之中。

有些人会说,必须先打好基础。在完全掌握学科的基础之前,学生不允许用机器。对此,我表示疑惑你所说的“基础”指的是什么?什么的基础?这样说来,驾车的基础是怎样修车或者设计车模吗?而写作的基础难道是学习削鹅毛笔吗?我认为不是这样的。

你需要将所要做的事情的基础理解成两部分,将如何得出结果和用机器如何得出结果这两者区分开来。自动化帮助我们作出这种区分。一百多年前,如果要学开车,你无疑需要知道某些汽车机械原理,以及定时打火器等各零部件的工作原理。但是,如今汽车的自动化实现了两类学问的划分,也就是说,驾车与汽车工程学现在是相对独立的两门学科,修车又是另外一回事。

不能因为纸比计算机先被发明,就应该先在教学中运用纸张,用纸张教数学不一定代表比用计算机的更了解数学的基础。如果你在计算机和纸张的发明之后出生,学习数学究竟是先用纸张学习还是先用计算机学习其实并不重要,你仅仅需要用最佳的工具来学习数学。

在学校里,学生通常会学习像解二次方程式这类题目。但如果用计算机来做,仅需要做代换,就可以将它变成四次方程,同样的原理仍然适用,只是运算上更复杂。而现实世界里的问题的确就像这样复杂和棘手,它们都不是我们在学校数学中学的那些东西。难道我们真的以为工程学和生物学等其他得益于计算机和数学的学科,会由于应用计算机而在某种程度上被明显削弱吗?恰恰相反。数学教育中的真正问题,并不是计算机使数学变得愚蠢,而是我们现在的教学使问题变得愚蠢。

还有一些人提到笔头运算的步骤在一定程度上可以帮助学生理解数学。比如,如果你做过很多例题,你就可以算出答案,你也可以更好地理解数学系统的基础。在这个观点中,有一点我是非常认同的,那就是,步骤和运算过程很重要。但是在现代社会,我们有一个绝佳的代替途径,那就是编程。

现在多数程序和编码过程大都以编程的方式写下来,而这也是一种鼓励学生更多参与,并检验他们是否真正理解数学问题的很好的方法。如果你真的想检验你是否理解数学,那就尝试编写一条程序。因此,编程就是我们应该前进的方向:编程为我们提供了一个独特的机会,使数学一方面更实用,另一方面又更加理论化。这种数学教学中出现的新局面在其他任何学科都还没有出现,为我们又打开了许多可能性,可以解决更多的实际问题。这种教育教学改革可以让学生获得比之前多得多的直观认识和经验累积,接触更加复杂的题目,畅游于数学的乐园中,与数学沟通,感受数学之美。我们希望学生可以本能地感受数学,而恰恰是计算机使这成为可能。

另外,计算机使我们得以对教学课程重新排序。以前是按照计算的难度编排数学课程教学的,但现在我们可以重新排序,按照概念的难度,而不管计算的难度。微积分传统上是很晚才能教授的项目,原因就在于微积分的计算相当困难。但事实上微积分中的许多概念是可以向更低年级的学生传授的。我为女儿建了一个简单易懂的模型,帮助她理解当多边形的边数增加时,图形随之改变的概念。当边数增加到非常多的时候,多边形就变成一个圆形。这是对极限和微积分非常初步的启蒙,也可以让她直观地看到趋于极限时所发生的变化,无限小边数的情况和无限多边数的情况。我们通常是很久很久之后才会教给学生这些,但它却是对世界的一种非常重要且实用的观察。

但是推进这个进程还有个路障,就是考试。因此,考试中使用计算机也变得非常重要。如此一来,我们就可以设置一些更实际的问题,比如,哪一种人寿保险的险种更适合我们?我需要多少年的险期?这对保险费有什么影响?对利率等其他的影响呢?这是一个日常生活中优化选择时可以用到的实际模型,而不是那些愚蠢的问题模型。

因此,我相信,我们需要一场以计算机作为数学教学工具的改革。通过让人们切实感受数学,我们才可以推进经济发展和社会进步。这绝不是可有可无的一环。首先,这样做的国家一定会鹤立鸡群,甚至实现更大的经济成就、更完善的经济体系和更卓越的国家面貌。事实上,我们正在从“知识经济”时代迈向可能被称作“计算机知识经济”的时代,高端的数学知识对每个人应付现代社会来说都不可或缺。其次,我们可以让更多学生加入到这个改革中,让他们在最佳的时机获得这样的教育。要明白,这不是一场渐进式的改革。我们要试图跨越学校数学和实际数学之间的鸿沟。如果我们踏进过这条鸿沟,一定会跌得粉身碎骨,甚至比没有开始改革前更糟糕。我们应该跳跃,必须加快起跳速度,这样我们就可以跳得高,从鸿沟的一头跳到另外一头。

因此,我想看到的是一套全新的、经过改良的数学课程,在应用计算机的基础上架构起来。目前计算机已经是世界各地非常普遍的运算工具,相信在不久的将来它会彻底覆盖每一个地方。现在我还不确定我们是否应该沿用“数学”作为这门学科的名字,但我确信,这门课将是未来学科的主流。

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