sinθ≈θ？不错！你不愧是学物理的！

中学物理中，我们都学过单摆的周期公式

它表明单摆以不同的幅度摆动时用时是一样的。这叫单摆的等时性。

但老师告诉我们，单摆的等时性是有条件的：它的摆角应在

以内。

概念提示：摆角是指单摆的摆线与竖直方向的夹角。

为什么会有这样的要求呢？我们从单摆的力学方程出发分析一下。

单摆在切向受到重力的分力，摆球受此回复力在竖线左右来回摆动。

设摆绳与竖线之间的夹角为

，设向某一侧（左或右皆可）偏离时的角为正角，切向力总是与

的符号相反，则单摆的切向牛顿方程为

故得

这个方程怎么求解？

这是一个非线性微分方程，求解非常困难，更重要的是，它的解没有周期性，不符合单摆周期运动的特点。

当摆角

很小时，可认为

，故可以将上面的方程化简为线性微分方程，即

这种方程当然容易了，它的解可表示为

其中

是单摆的振幅，而角频率

，根据三角函数的周期性的规律可知，振动的周期为

可见，之所以单摆周期有这样的公式，是因为我们进行了一个近似计算，即认为单摆的摆角很小时，它的正弦等于角度本身。

但这样做时，摆角应在多大的范围呢？是不是像高中老师说的那样在

以内呢？

将振幅记为

（下同），可通过比较

和

的值来分析，具体就是看下式的值随角度

的变化情况

是角度与其正弦值之间的相对偏差。由于角度制看起来更直观，所以按下将弧度制换成角度制

画出

作为角度

的函数图像如下

由图可见，在摆角不超过

时，摆角和它的正弦之间的相对偏差都不足10%。

如果按照中学物理所说的，限制在

以内的话，偏差仅约0.12%，这个精度，那家伙，那是相当的高哇！

但是，

与

之间的相对偏差，并不是由此近似而导致的周期的相对偏差！

换句话说，仅仅分析角度与其正弦值之间的关系，是远远不够的！

还有很多问题没有厘清。

例如，单摆周期是否与振幅

有关呢？到底多大的振幅范围内，单摆的周期公式才是可靠的呢？

要回答这些问题，我们得从运动方程入手来严格分析才可以。

利用能量守恒的特点[1]，可得单摆的运动微分方程如下

从0积分到

，对应的时间是

，故得

可以看到，当振幅

时，上述积分发散，

，这是因为当球抵达到最高处时，它处于不稳定平衡状态，它可能会一直呆在那里，所以周期是无限大。

采用椭圆积分，上述积分的级数解为（具体过程略，参看文献[2]）

由此可见，单摆的周期与振幅有关——振幅越大，单摆的周期越大！

上式是一个无穷级数，显然，保留的幂次项越多，单摆的周期的精度越高。

我们来比较一下，随着幂次分别保留到2次方项、4次方项和6次方项，单摆周期相对偏差的变化情况。

保留到2次项，相对偏差为

保留到4次项，相对偏差为

保留到6次项，相对偏差为

偏差随角度α（角度制）的变化情况如下，图中蓝、红和绿三种颜色的曲线分别代表上述保留到2次项、4次项和6次项时对应的相对偏差。

由图可见，单摆的实际周期相对周期公式给出的值偏差非常小，例如当保留到2次项时，在摆角为

时，偏差还不到1%，而摆角为

时，偏差还不到2%。

即使摆角达到

，单摆的周期公式的偏差还不到8%。只有当摆角达到

以上时，单摆的周期公式的偏差才超过10%。

可见，虽然单摆的周期是随摆角增加而增加，但增加的非常缓慢，单摆周期公式在较大的摆角范围内都相当准确！

假设我们用单摆来制作一个钟表，当它的摆角是

，也就是来回摆动

时，一天内记录的时间偏差仅约40秒。若摆角为

，则偏差仅为12秒。

可见，单摆周期公式的确是一个非常精确的公式，单摆的等时性是相当可靠的！

再回头看前面依据比较角度与正弦值之间的差距的分析结果，我们会发现，那样的分析甚至都低估了周期公式的精度。

换句话说，单纯比较正弦值与角度之间的偏差，会使人们更倾向于将摆角限制在更小的范围，这无疑会使单摆周期公式的精度更高，更加可靠。

由此可见，采用近似条件

是非常可靠的！

高中学物理时，大多数人都会记住摆角不超过

这件事。达成这种共识后，老师们就可在此基础上出各种题目来考查学生了，凡是没有记住这种共识，答题可能会被判为错误。

但实际上，

并非绝对分水岭，它只是一种普遍约定罢了！窃以为，将这种约定当作绝对正确的物理知识来学习，是不必要的。

著名物理学家列夫·达维多维奇·朗道认为，做物理学研究最重要的部分是近似的学问。因此，学物理不要陷入数学的细节，无限地追求完美性和准确性，你会被带到沟里去。

最后，还是回到本文的标题，如何用一句话证明你是物理系的？

答曰：当然有很多方式啦，但最合适的就是

，因为它足够精确！

参考文献

物理夜航船：直觉与猜算/（美）徐一鸿著；姬扬译，北京：世界图书出版有限公司北京分公司，2024.10.https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum#Period_of_oscillation