巴赫与算法：当作曲成为数学游戏

以下文章来源于德文杂谈，作者德文杂谈

一、他不是在作曲，他是在“编程”

300年前，德国有一位作曲家，写的音乐听起来像祈祷，也像谜题。

他的音乐没有歌词，但每一句旋律像是有“结构”的语言；

他的作品没有注解，却能让数学家一听就起鸡皮疙瘩。

他的名字是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（J.S. Bach）。

很多人以为巴赫是“古典音乐”的鼻祖，但他更像一个“音乐建筑师”，或者说 一个用音符编程的算法大师。

二、什么是“赋格”？一个数学脑才能听得懂的游戏

我们来看看巴赫最著名的音乐形式之一：赋格（Fugue）。

通俗来说：

赋格 = 一个音乐主题，不断被“变化+复现+叠加+对位”

就像一个问题，在不同时间、空间、角度中不断被“重新提问”，又互相呼应

比如：

1. 主旋律（Subject）先出现一次；

2. 紧接着第二个声部，以不同音高“模仿”它；

3. 然后第三个声部加入，以不同节奏“映射”它；

4. 最后所有声部交织在一起，形成一张“声音的逻辑网”。

赋格的音乐，不是往前走的故事，而是一个空间结构的展开。

如果贝多芬的音乐是情感的爆发，肖邦的音乐是情绪的流动——

那么巴赫的音乐，是数学在跳舞，是逻辑在流淌。

三、巴赫用的“算法”，远早于计算机出现

巴赫的音乐常见以下“数学技法”：

1. 镜像（Inversion）：把旋律“上下翻转”——原来上行的音程变为下行

2. 倒影（Retrograde）：把旋律“时间反转”——从后往前倒着弹

3. 变奏（Augmentation/ Diminution）：把节奏变长或缩短，但保留原来形状

4. 移调（Transposition）：把旋律“平移”到另一个音高区间

5. 对位（Counterpoint）：两个不同旋律之间的“逻辑交错关系”

这些方式是不是很像现代程序员写的“函数复用”？

你写一个模块，调用时传入不同参数，得到不同版本的输出。

而巴赫，是用音符完成了“模块化的作曲”。

你听他写的《赋格的艺术》或《音乐的奉献》，就像在听一个算法在运行。

旋律是代码，节奏是时间轴，和声是结构图，整个作品是一个程序的执行过程。

四、巴赫的美，不靠情绪，而靠结构

我们通常被音乐打动，是因为旋律优美、情绪饱满。

但巴赫的音乐，经常让人听了不激动，但震撼。

为什么？

因为他的音乐美，不是情感直接的美，而是“结构上的美”。

这是一种：

对称的美

递归的美

编织的美

构造的美

你不是在听一段旋律，而是在欣赏一个内部规则高度统一的世界。

五、巴赫与数学家的双向热爱

很多数学家和物理学家，爱巴赫到了痴迷的程度：

爱因斯坦每天拉小提琴，最喜欢的就是巴赫；

数学家古德尔听巴赫赋格时说：“这是最接近无穷的结构”；

计算机科学家霍夫施塔特在《哥德尔、艾舍尔、巴赫》一书中，把巴赫的音乐、数学的证明和艾舍尔的画并列为“递归之美”的三种体现。

这不是巧合。

因为所有喜欢规律、对称、变换和逻辑的人，都会在巴赫那里听到熟悉的“语言”。

六、我们能从巴赫那里学会什么？

你不用是音乐家，也可以从巴赫那里学到三件事：

1. 看见变化背后的不变

 ——再多的变化，都是从主题出发。像自然界的分形图案。

2. 结构决定意义

 ——美感来自关系，而非单一音符，就像城市之美不是一座楼，而是街区结构。

3. 感动不一定是情绪，有时是逻辑的震撼

 ——你听着没哭，却觉得“这一切怎么可以这么对”。

在碎片化的今天，巴赫的音乐提醒我们：

真正的创作不是制造“新意”，而是挖掘“深意”。

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他用音符告诉我们，宇宙是有规律的

巴赫不是在写“好听的音乐”，他是在证明一个信念：

世界有秩序，

秩序可以用声音编码，

理性和美感可以和谐共存。

他的作品，是“可听见的数学”，也是“有呼吸的逻辑”。